Determine uma base para o subespaço
S=(x, x+y, 2 y) mid x, y in R subset R^3

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
S = (x,;x+y,;2y)mid x,yinRsubsetR^3
O conteúdo aqui é subespaço vetorial e base: vamos escrever um vetor genérico de S em função de parâmetros, extrair vetores geradores e checar se são independentes.

Passo 2

Escrevemos o elemento (x,;x+y,;2y) como combinação linear de x e y. Observe que
(x,;x+y,;2y) = x,(1,1,0) ;+; y,(0,1,2)
Isso mostra que todo vetor de S está no span dos vetores (1,1,0) e (0,1,2).

Passo 3

Concluímos que
Logo esses dois vetores geram .

Passo 4

Para verificar independência, considere
a,(1,1,0)+b,(0,1,2)=(0,0,0)
Isso dá o sistema
a = 0, a + b = 0, 2b = 0
Da terceira equação vem b=0 e, daí, a=0. Então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de S é
(1,1,0),;(0,1,2)

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