Sejam .

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1 = 123, v2 = -12-3, v3 = -110-3,
e define H = spanv1,v2,v3. Queremos (1) mostrar que v1,v2,v3 é linearmente dependente e (2) que v1,v2 é base de H. Para isso usaremos definição de dependência linear (resolução de combinação linear nula) e de base (conjunto LI que gera o subespaço).

Passo 2

Mostramos dependência linear buscando escalares
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da primeira equação . Escolhendo obtém-se , de onde
Isso mostra que é linearmente dependente.

Passo 3

Para ver que
Coordenada a coordenada:
Da primeira . Assim só há solução trivial, e é LI.

Passo 4

Como v3 está em spanv1,v2, temos
H = spanv1,v2,v3 = spanv1,v2
E vimos que v1,v2 é LI e gera H. Portanto é base de H.

Resposta

v1,v2,v3 é linearmente dependente e v1,v2 é base de H.

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