Exercício 3.10.39. Calcular se for possível a inversa da matriz
(lll 1 & 1 & 0 3 & 1 & 0 0 & 0 & 2 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz A abaixo e pede sua inversa:
A = 1 & 1 & 0 3 & 1 & 0 0 & 0 & 2
O conteúdo aqui é inversão de matrizes, aproveitando que A é triangular em blocos: um bloco 2times2 e um elemento isolado.

Passo 2

Precisamos ver se A é invertível, ou seja, se det(A)neq0. Como A é triangular em blocos,
det(A) =det!1 & 1 3 & 1;cdot;2 =(1cdot1-3cdot1)cdot2 =-2cdot2 =-4
Como det(A)=-4neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Agora invertemos o bloco
B=1 & 1 3 & 1
A fórmula para a inversa de uma 2times2 é
B^-1 =1det(B) 1 & -1 -3 & 1 =11cdot1-3cdot1 1 & -1 -3 & 1 =-tfrac12 1 & -1 -3 & 1 = -tfrac12 & tfrac12 tfrac32 & -tfrac12

Passo 4

Como A é triangular em blocos, sua inversa é
A^-1 = B^-1 & 0 0 & tfrac12 = -tfrac12 & tfrac12 & 0 tfrac32 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac12

Resposta

A^-1 = -tfrac12 & tfrac12 & 0 tfrac32 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac12

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