Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços
e
nos casos abaixo:
Passo 1
No primeiro passo, vamos entender o enunciado: temos o subespaço
gerado pelos vetores
e
, e o subespaço
definido pelas equações
e
em
. Vamos encontrar base e dimensão de
e
.
Passo 2
Para
, os dois vetores são visivelmente lineares independentes. Logo a base de
é
e
.
Passo 3
Para
, escrevemos as equações
Escolhemos como livres
. Assim
Logo uma base de
é
e
.
Passo 4
Para
, pegamos um vetor genérico de
,
, e impomos as duas condições de
. Isso leva ao sistema
Passo 5
Para
, usamos a fórmula de dimensão:
Como o espaço ambiente é
, temos
. Uma base natural é a canônica
e
.
Resposta
F_{1}: base = {(1,-1,1,-1,2,1),(0,1,0,1,0,1)}, dim = 2
F_{2}: base = {(1,0,0,0,0,0),(0,2,1,1,0,0),(0,0,0,1,1,0),(0,-1,0,0,0,1)}, dim = 4
F_{1}\cap F_{2}: base = {}, dim = 0
F_{1}+F_{2} = \mathbb{R}^{6}: base = {e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6}}, dim = 6