Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:

Passo 1

No primeiro passo, vamos entender o enunciado: temos o subespaço
F1 gerado pelos vetores
(1,-1,1,-1,2,1) e (0,1,0,1,0,1), e o subespaço F2 definido pelas equações
x2-2x3+x6=0 e x3-x4+x5=0 em R^6. Vamos encontrar base e dimensão de F1,F2,F1cap F2 e F1+F2.

Passo 2

Para F1=span((1,-1,1,-1,2,1),(0,1,0,1,0,1)), os dois vetores são visivelmente lineares independentes. Logo a base de F1 é
(1,-1,1,-1,2,1),,(0,1,0,1,0,1)
e dim(F1)=2.

Passo 3

Para F2, escrevemos as equações
x2=2x3-x6, x4=x3+x5
Escolhemos como livres x1,x3,x5,x6. Assim
(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=x1(1,0,0,0,0,0)+x3(0,2,1,1,0,0)+x5(0,0,0,1,1,0)+x6(0,-1,0,0,0,1)
Logo uma base de F2 é
(1,0,0,0,0,0),,(0,2,1,1,0,0),,(0,0,0,1,1,0),,(0,-1,0,0,0,1)
e dim(F2)=4.

Passo 4

Para F1cap F2, pegamos um vetor genérico de F1,
alpha(1,-1,1,-1,2,1)+beta(0,1,0,1,0,1), e impomos as duas condições de F2. Isso leva ao sistema
beta-alpha=0, 4alpha-beta=0\ncuja única solução é alpha=beta=0. Logo
F1cap F2=0, dimensão 0 e base vazia.

Passo 5

Para F1+F2, usamos a fórmula de dimensão:
dim(F1+F2)=dim F1+dim F2-dim(F1cap F2)=2+4-0=6
Como o espaço ambiente é R^6, temos F1+F2=R^6. Uma base natural é a canônica
e1,e2,e3,e4,e5,e6 e dim(F1+F2)=6.

Resposta

F_{1}: base = {(1,-1,1,-1,2,1),(0,1,0,1,0,1)}, dim = 2
F_{2}: base = {(1,0,0,0,0,0),(0,2,1,1,0,0),(0,0,0,1,1,0),(0,-1,0,0,0,1)}, dim = 4
F_{1}\cap F_{2}: base = {}, dim = 0
F_{1}+F_{2} = \mathbb{R}^{6}: base = {e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6}}, dim = 6

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