Mostre que existe uma transformação linear T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{3}(\mathbb{R}) tal que T(1,1)=(1,0,2) e T(2,3)=(1,-1,4). Calcule T(8,11).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma transformação linear
T:V_{2}(\mathbb{R})\to V_{3}(\mathbb{R})
que satisfaz
T(1,1) = (1,0,2)\quad\text{e}\quad T(2,3) = (1,-1,4)
e depois calcular T(8,11). O conteúdo aqui é o fato de que basta definir linearmente T numa base de \mathbb{R}^2 para garantir existência e unicidade.

Passo 2

Verificamos que os vetores (1,1) e (2,3) são linearmente independentes em \mathbb{R}^2 porque a única solução de
a(1,1) + b(2,3) = (0,0)
é a=b=0. Geometricamente, o determinante da matriz cujas colunas são (1,1) e (2,3) é
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix} = 1\cdot3 - 1\cdot2 = 1 \neq 0.
Logo, \{(1,1),(2,3)\} é base de \mathbb{R}^2. Pelo teorema de existência e unicidade de transformações lineares, existe exatamente um T com as imagens dadas nessa base.

Passo 3

Para calcular T(8,11)\), escrevemos \((8,11)\) como combinação linear de \((1,1)\) e \((2,3)\). Buscamos \(a,b\) tal que \[a(1,1) + b(2,3) = (8,11).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 2b = 8,\\\ a + 3b = 11. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos b=3\]. Então \(a = 8 - 2\cdot3 = 2. Assim
(8,11) = 2\,(1,1) + 3\,(2,3).

Passo 4

Usando a linearidade de T, temos
T(8,11) = T\bigl(2(1,1) + 3(2,3)\bigr) = 2\,T(1,1) + 3\,T(2,3).
Substituindo as imagens conhecidas,
2\,(1,0,2) + 3\,(1,-1,4) = (2,0,4) + (3,-3,12) = (5,-3,16).

Resposta

T(8,11) = (5,-3,16)

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