Mostre que existe uma transformação linear
tal que
e
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe uma transformação linear
que satisfaz
e depois calcular
. O conteúdo aqui é o fato de que basta definir linearmente
numa base de
para garantir existência e unicidade.
Passo 2
Verificamos que os vetores
e
são linearmente independentes em
porque a única solução de
é
. Geometricamente, o determinante da matriz cujas colunas são
e
é
Logo,
é base de
. Pelo teorema de existência e unicidade de transformações lineares, existe exatamente um
com as imagens dadas nessa base.
Passo 3
Para calcular
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
. Assim
Passo 4
Usando a linearidade de
, temos
Substituindo as imagens conhecidas,