Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
rr-1 & 1 1 & -2 1 & 0 0 & 0 1 & -1

Passo 1

Resumo do problema: Temos a matriz AinR^5times2 dada e queremos bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im,A e Im,A^t. Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (que relaciona dimensões) e o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.

Passo 2

Determinando dimensões: Calculemos o posto de A. As colunas c1=(-1,1,1,0,1) e c2=(1,-2,0,0,-1) são linearmente independentes, logo rank(A)=2. Daí
  • dimker A=2-2=0,
  • dimIm,A=2,
  • dimIm,A^t=rank(A^t)=2,
  • dimker A^t=5-2=3.

Passo 3

Base ortonormal de ker A: Como dimker A=0, o núcleo é apenas {0} e não há vetor não nulo – base vazia.

Passo 4

Base ortonormal de Im,A: Começamos com as colunas
c1=(-1,1,1,0,1), c2=(1,-2,0,0,-1)

Passo 5

  1. u1=c1|c1|, com |c1|=2, logo
u1=l(-tfrac12,tfrac12,tfrac12,0,tfrac12r)

Passo 6

  1. Projetamos c2 sobre u1:
lang<= c2,u1rang<==-2, proju1(c2)=-2u1=(1,-1,-1,0,-1)

Passo 7

  1. Definimos v2=c2-proju1(c2)=(0,-1,1,0,0) e |v2|=raiz2, daí
u2=v2raiz2=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0,0r)

Passo 8

Portanto u1,u2 é base ortonormal de Im,A.

Passo 9

Base ortonormal de Im,A^t: É o espaço linha de A em R^2 de dimensão 2, logo é todo R^2. Uma base ortonormal natural é
(1,0),(0,1)

Passo 10

Base ortonormal de ker A^t: Resolvemos A^t x=0, isto é
-x1+x2+x3+x5=0, x1-2x2-x5=0

Passo 11

Solução geral: x=a(2,1,1,0,0)+b(0,0,0,1,0)+c(1,0,0,0,1). Escolhemos vetores iniciais
v1=(2,1,1,0,0),;v2=(0,0,0,1,0),;v3=(1,0,0,0,1)
e aplicamos Gram–Schmidt:
1) w1=v2, u'1=(0,0,0,1,0).
2) v3 é ortogonal a u'1, normalizando dá
u'2=1raiz2(1,0,0,0,1)

Passo 12

  1. Projetamos v1 sobre u'2, subtraímos e normalizamos, obtendo
u'3=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,0,-tfrac12r)

Passo 13

Assim u'1,u'2,u'3 é base ortonormal de ker A^t.

Resposta

Bases ortonormais:
Para ker A: base vazia (somente o vetor zero).
Para Im,A:
ll(-tfrac12,tfrac12,tfrac12,0,tfrac12r),;l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0,0r)l
Para Im,A^t:
(1,0),;(0,1)
Para ker A^t:
l(0,0,0,1,0),;tfrac1raiz2(1,0,0,0,1),;(tfrac12,tfrac12,tfrac12,0,-tfrac12)r

Exercícios relacionados