Determine bases ortonormais para para as matrizes abaixo:
Passo 1
Resumo do problema: Temos a matriz AinR^5times2 dada e queremos bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im,A e Im,A^t. Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (que relaciona dimensões) e o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.
Passo 2
Determinando dimensões: Calculemos o posto de A. As colunas c1=(-1,1,1,0,1) e c2=(1,-2,0,0,-1) são linearmente independentes, logo rank(A)=2. Daí
dimker A=2-2=0,
dimIm,A=2,
dimIm,A^t=rank(A^t)=2,
dimker A^t=5-2=3.
Passo 3
Base ortonormal de ker A: Como dimker A=0, o núcleo é apenas {0} e não há vetor não nulo – base vazia.
v1=(2,1,1,0,0),;v2=(0,0,0,1,0),;v3=(1,0,0,0,1)
e aplicamos Gram–Schmidt:
1) w1=v2, u'1=(0,0,0,1,0).
2) v3 é ortogonal a u'1, normalizando dá u'2=1raiz2(1,0,0,0,1)
Passo 12
Projetamos v1 sobre u'2, subtraímos e normalizamos, obtendo