Determine os valores de para que as matrizes sejam diagonalizáveis:
Passo 1
O enunciado pede para achar para quais valores de a matriz
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes 2×2, e vamos precisar calcular autovalores, seus espaços próprios e comparar multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Para começar, calculamos os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0. Como A-lambda I=1-lambda & 10 & alpha-lambda, temos
det(A-lambda I)=(1-lambda)(alpha-lambda)=0
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=alpha.
Passo 3
Se alphaneq 1, os autovalores são diferentes. Em dimensão 2, autovalores distintos garantem dois autovetores linearmente independentes, então A é diagonalizável.
Passo 4
Se alpha=1, o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. Nesse caso, a matriz fica
A=1 & 10 & 1,
que tem apenas um autovetor (por exemplo (1,0)^T), então a multiplicidade geométrica é 1 < 2. Portanto não é diagonalizável.