17 Mostre que existe uma base ortonormal V de T que consiste de autovetores de E1, E2, ldots, Er se, e somente se, existem projeções ortogonais lambda1, lambda2, ldots, lambdar e escalares T=lambda1 E1+lambda2 E2+ldots+lambdar Er tais que:
(i) E1+E2+ldots+En=I;
(ii) Ei Ej=0;
(iii) para $i \neq j.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador linear auto-adjunto (ou normal) T em um espaço pré-Hilbertiano V admite uma base ortonormal de autovetores se, e somente se, existe uma decomposição espectral
T=lambda1E1+lambda2E2+cdots+lambdarEr
onde cada Ei é uma projeção ortogonal, as projeções se somam à identidade e se anulam mutuamente. Vamos usar o Teorema Espectral e a teoria de projeções ortogonais para provar as duas implicações.

Passo 2

Supondo que exista uma base ortonormal de autovetores u1,u2,dots,un de T, organizamos esses vetores segundo seus valores próprios distintos lambda1,dots,lambdar. Para cada k=1,dots,r, definimos a projeção ortogonal
Ek(x)=sumui,colon,Tui=lambdakuilang<= x,uirang<=,ui
Então é imediato verificar que
(i) Ek^2=Ek e Ek^*=Ek, (ii) EiEj=0 para ineq j, (iii) sumk=1^rEk=I, e por fim, aplicando ambos os lados em cada ui, vemos que
T=sumk=1^rlambdakEk

Passo 3

Agora, supondo que existam projeções ortogonais E1,dots,Er e escalares lambda1,dots,lambdar satisfazendo (i),(ii),(iii), note que
V=oplusk=1^rIm(Ek),
pois sum Ek=I e EiEj=0 para ineq j. Em cada subespaço Wk=Im(Ek), escolhemos uma base ortonormal ui^(k). Para qualquer vetor x em Wk temos
T(x)=sumj=1^rlambdajEj(x)=lambdakEk(x)=lambdakx,
ou seja, cada ui^(k) é autovetor de T com valor próprio lambdak.

Passo 4

Juntando todas as bases ortonormais de cada Wk obtemos uma base ortonormal de V composta só de autovetores de T. Assim provamos as duas direções da equivalência pedida.

Resposta

Concluímos que T admite uma base ortonormal de autovetores se, e somente se, existe a decomposição espectral
T=sumk=1^rlambdakEk
com as projeções ortogonais Ek satisfazendo
Ek^2=Ek,;EiEj=0;(ineq j),;sumkEk=I

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