17 Mostre que existe uma base ortonormal
de
que consiste de autovetores de
se, e somente se, existem projeções ortogonais
e escalares
tais que:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
para $i \neq j.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear auto-adjunto (ou normal) T em um espaço pré-Hilbertiano V admite uma base ortonormal de autovetores se, e somente se, existe uma decomposição espectral
onde cada
é uma projeção ortogonal, as projeções se somam à identidade e se anulam mutuamente. Vamos usar o Teorema Espectral e a teoria de projeções ortogonais para provar as duas implicações.
Passo 2
Supondo que exista uma base ortonormal de autovetores
de T, organizamos esses vetores segundo seus valores próprios distintos
. Para cada
, definimos a projeção ortogonal
Então é imediato verificar que
(i) e
, (ii)
para
, (iii)
, e por fim, aplicando ambos os lados em cada
, vemos que
(i)
Passo 3
Agora, supondo que existam projeções ortogonais
e escalares
satisfazendo (i),(ii),(iii), note que
pois
e
para
. Em cada subespaço
, escolhemos uma base ortonormal
. Para qualquer vetor
em
temos
ou seja, cada
é autovetor de T com valor próprio
.
Passo 4
Juntando todas as bases ortonormais de cada
obtemos uma base ortonormal de V composta só de autovetores de T. Assim provamos as duas direções da equivalência pedida.
Resposta
Concluímos que T admite uma base ortonormal de autovetores se, e somente se, existe a decomposição espectral
com as projeções ortogonais
satisfazendo