Determine bases ortonormais em relação ao produto escalar em \mathbb{R}^{n}, para o subespaço W de V :
V=\mathbb{R}^{3}, \quad W_{1}, gerado por \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de W_{1}\subset\mathbb{R}^{3}, onde
W_{1}=\Span\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr\}
em relação ao produto escalar usual. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter dois vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Escolhemos o primeiro vetor gerador
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos
\|v_{1}\| =\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}} =\sqrt{2},
e definimos o primeiro vetor da base ortonormal como
e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\\ 0\\\ 1/\sqrt{2}\end{pmatrix}.

Passo 3

Para o segundo vetor gerador v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, subtraímos sua projeção sobre e_{1}:
\text{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =\bigl\langle v_{2},e_{1}\bigr\rangle\,e_{1} =\frac{1\cdot1+(-1)\cdot0+0\cdot1}{\sqrt{2}}\,e_{1} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,e_{1}.
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u_{2} =v_{2}-\text{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\\ 0\\\ 1/\sqrt{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\tfrac12\\\ -1-0\\\ 0-\tfrac12\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/2\\\ -1\\\ -1/2\end{pmatrix}.
Calculamos o comprimento de u_{2}:
\|u_{2}\| =\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+(-1)^{2}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac14+1+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac32} =\frac{\sqrt{6}}{2}.
E definimos
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\frac{u_{2}}{\tfrac{\sqrt{6}}{2}} =\frac{2}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1/2\\\ -1\\\ -1/2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/\sqrt{6}\\\ -2/\sqrt{6}\\\ -1/\sqrt{6}\end{pmatrix}.

Resposta

Uma base ortonormal de W_{1} é
\Bigl\{ \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\\ 0\\\ 1/\sqrt{2}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1/\sqrt{6}\\\ -2/\sqrt{6}\\\ -1/\sqrt{6}\end{pmatrix} \Bigr\}.

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