Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{4} encontre uma base ortogonal que contenha os vetores \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] e \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de \mathbb{R}^4 que já contenha os vetores
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
O conteúdo é o método de Gram–Schmidt: mantemos v_1,v_2 (se já são ortogonais) e então encontramos dois vetores adicionais ortogonais a eles para completar a base.

Passo 2

Verificamos o produto interno
\langle v_1,v_2\rangle =1\cdot1 + 2\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot3 =1 -1 =0.
Como \langle v_1,v_2\rangle=0, os vetores já são ortogonais.

Passo 3

Definimos
u_1 = v_1,\quad u_2 = v_2.

Passo 4

Para encontrar u_3 escolhemos um vetor genérico w=(a,b,c,d) e impomos
\langle w,u_1\rangle = a + 2b - c = 0, \quad \langle w,u_2\rangle = a + c + 3d = 0.
Uma solução simples é tomar b=1, d=0. Então
a = -1,\quad c = 1,
e podemos escolher
u_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, para u_4 tomamos outro vetor independente que satisfaça
\langle u_4,u_1\rangle = 0, \quad \langle u_4,u_2\rangle = 0, \quad \langle u_4,u_3\rangle = 0.
Uma escolha conveniente é
u_4 = \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix},
pois verifica todas as ortogonalidades com u_1,u_2,u_3.

Resposta

Uma base ortogonal de \mathbb{R}^4 que contém v_1 e v_2 é
\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} \right\}. }

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