Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
\quad G(s)=\frac{10}{(s+3)^{2}\left(s^{2}+3 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s)=\frac{10}{(s+3)^{2}\,\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)}.
O conteúdo é frações parciais e uso das propriedades \,\mathcal L^{-1}[1/(s+a)]=e^{-at} e \mathcal L^{-1}[1/(s+a)^{2}]=t\,e^{-at}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o quadrático do denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2),
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G(s)=\frac{10}{(s+1)(s+2)(s+3)^{2}}.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais
\frac{10}{(s+1)(s+2)(s+3)^{2}} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}+\frac{D}{(s+3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3)^{2}, obtemos
10 = A\,(s+2)(s+3)^{2} \;+\; B\,(s+1)(s+3)^{2} \;+\; C\,(s+1)(s+2)(s+3) \;+\; D\,(s+1)(s+2).

Passo 4

Para achar A,B,D usamos raízes simples:
  • Em s=-1:
    10 = A\,(1\cdot2^{2}) A=\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}. - Em s=-2:
    10 = B\,(-1\cdot1^{2}) B=-10. - Em s=-3:
    10 = D\,(-2\cdot-1) D=5.

Passo 5

Para C usamos s=0. Substituindo em
10 = A(2\cdot3^{2}) + B(1\cdot3^{2}) + C(1\cdot2\cdot3) + D(1\cdot2)
e trocando A=\tfrac{5}{2}, B=-10, D=5, vem
10 = 45 - 90 + 6\,C + 10 \quad\Longrightarrow\quad 6\,C = 45 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{15}{2}.

Passo 6

Substituindo as constantes,
G(s) = \frac{\tfrac{5}{2}}{s+1} - \frac{10}{s+2} + \frac{\tfrac{15}{2}}{s+3} + \frac{5}{(s+3)^{2}}.
Aplicando a transformada inversa:
g(t) = \tfrac{5}{2}\,e^{-t} -10\,e^{-2t} + \tfrac{15}{2}\,e^{-3t} + 5\,t\,e^{-3t}.

Resposta

g(t)=\frac{5}{2}\,e^{-t}\;-\;10\,e^{-2t}\;+\;\frac{15}{2}\,e^{-3t}\;+\;5\,t\,e^{-3t}.

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