Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
\quad G(s)=\frac{5 s+10}{s(s+1)\left(s^{2}+2 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s)=\frac{5s+10}{s\,(s+1)\bigl(s^2+2s+2\bigr)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais e uso de pares básicos de transformada de Laplace.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{5s+10}{s\,(s+1)(s^2+2s+2)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+2s+2}.
Multiplicando por s\,(s+1)(s^2+2s+2) obtemos
5s+10 = A(s+1)(s^2+2s+2)+B\,s\,(s^2+2s+2)+(Cs+D)\,s\,(s+1).

Passo 3

Expandindo e agrupando coeficientes em potências de s, igualamos a
0\cdot s^3+0\cdot s^2+5s+10.
O sistema resultante é
\begin{cases} A+B+C=0,\\\\ 3A+2B+C+D=0,\\\\ 4A+2B+D=5,\\\\ 2A=10, \end{cases}
cuja solução é
A=5,\quad B=-5,\quad C=0,\quad D=-5.

Passo 4

Substituindo em G(s) e completando quadrado em s^2+2s+2=(s+1)^2+1, fica
G(s)=\frac{5}{s}-\frac{5}{s+1}-\frac{5}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Agora aplicamos cada par de transformada inversa:
  1. \displaystyle \mathcal L^{-1}\!\bigl[5/s\bigr]=5.
  2. \displaystyle \mathcal L^{-1}\!\bigl[-5/(s+1)\bigr]=-5\,e^{-t}.
  3. \displaystyle \mathcal L^{-1}\!\Bigl[-\frac{5}{(s+1)^2+1}\Bigr] =-5\,e^{-t}\sin t, pois \mathcal L[e^{-t}\sin t]=1/[(s+1)^2+1].

Resposta

g(t)=5-5\,e^{-t}-5\,e^{-t}\sin t.

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