(5 pontos) Dê a expansão em série para a função f(x)=raiz[3](x+1)^2, calcule uma aproximação de 4 casas para raiz[3]1,3 e dê o erro máximo cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas:
  1. Expansão em série da função $ f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^2} $.
  2. Calcular uma aproximação de 4 casas decimais para $ \sqrt[3]{1,3} $ usando essa série.
  3. Determinar o erro máximo dessa aproximação.
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e aproximações polinomiais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que precisamos expandir: $ f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^2} $.
Podemos reescrever essa função como:
f(x) = raiz[3](x+1)^2
Queremos expandir $ (1 + x)^{k} $ em uma série de potência, onde $ k = \frac{2}{3} $. Para isso, vamos usar a série binomial, que é útil para expandir expressões do tipo $ (1 + x)^k $.
A série binomial para $ |x| < 1 $ é dada por:
f(x) = (x + 1)^2/3
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 3

Aplicando a série binomial com $ k = \frac{2}{3} $, temos:
k = 23
Então, a expansão em série até o termo de $ x^3 $ é:
f(x) &= 1 + 23x + 23(23 - 1)2x^2 + 23(23 - 1)(23 - 2)6x^3 + dots &= 1 + 23x - 19x^2 + 1081x^3 + dots

Passo 4

Agora, queremos calcular $ \sqrt[3]{1,3} $. Vamos relacionar isso com a nossa função $ f(x) $:
Queremos encontrar $ f(0,3) $, pois:
raiz[3]1,3
Vamos substituir $ x = 0,3 $ na nossa série:
f(x)
Então, a aproximação de $ \sqrt[3]{1,3} $ é 1,1933.

Passo 5

Para determinar o erro máximo dessa aproximação, vamos considerar o próximo termo da série que não foi incluído, que seria o termo de $ x^4 $. O erro é, no máximo, igual ao valor absoluto desse próximo termo.
Calculando o próximo termo:
x^4
Substituindo $ x = 0,3 $:
k(k-1)(k-2)(k-3)4!x^4 = 23(23 - 1)(23 - 2)(23 - 3)24x^4 á
Portanto, o erro máximo é de 0,0001.

Resposta

A aproximação de $ \sqrt[3]{1,3} $ é 1,1933 com um erro máximo de 0,0001.

Exercícios relacionados