(5 pontos) Dê a expansão em série para a função
, calcule uma aproximação de 4 casas para
e dê o erro máximo cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas:
- Expansão em série da função $ f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^2} $.
- Calcular uma aproximação de 4 casas decimais para $ \sqrt[3]{1,3} $ usando essa série.
- Determinar o erro máximo dessa aproximação.
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e aproximações polinomiais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que precisamos expandir: $ f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^2} $.
Podemos reescrever essa função como:
Queremos expandir $ (1 + x)^{k} $ em uma série de potência, onde $ k = \frac{2}{3} $. Para isso, vamos usar a série binomial, que é útil para expandir expressões do tipo $ (1 + x)^k $.
A série binomial para $ |x| < 1 $ é dada por:
Vamos aplicar isso na nossa função.
Passo 3
Aplicando a série binomial com $ k = \frac{2}{3} $, temos:
Então, a expansão em série até o termo de $ x^3 $ é:
Passo 4
Agora, queremos calcular $ \sqrt[3]{1,3} $. Vamos relacionar isso com a nossa função $ f(x) $:
Queremos encontrar $ f(0,3) $, pois:
Vamos substituir $ x = 0,3 $ na nossa série:
Então, a aproximação de $ \sqrt[3]{1,3} $ é 1,1933.
Passo 5
Para determinar o erro máximo dessa aproximação, vamos considerar o próximo termo da série que não foi incluído, que seria o termo de $ x^4 $. O erro é, no máximo, igual ao valor absoluto desse próximo termo.
Calculando o próximo termo:
Substituindo $ x = 0,3 $:
Portanto, o erro máximo é de 0,0001.
Resposta
A aproximação de $ \sqrt[3]{1,3} $ é 1,1933 com um erro máximo de 0,0001.