Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique!
Se os vetores u, v, w satisfazem u times v=u times w, então v times w=0.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas vec u,vec v,vec w tais que
vec utimesvec v=vec utimesvec w,
deveríamos ter vec vtimesvec w=vec 0. O conteúdo aqui é produto vetorial em R^3 e uso da condição de nulidade do produto vetorial (vetores paralelos ou nulos).

Passo 2

Da hipótese vec utimesvec v=vec utimesvec w segue
vec utimes(vec v-vec w)=vec 0
Em R^3, vec atimesvec b=vec0 se e somente se vec a e vec b são paralelos (ou um é zero). Logo existe lambdain R tal que
vec v-vec w=lambda,vec u

Passo 3

Escrevendo vec v=vec w+lambdavec u, temos
vec vtimesvec w =(vec w+lambdavec u)timesvec w =vec wtimesvec w+lambda,vec utimesvec w =lambda,(vec utimesvec w)
Para garantir vec vtimesvec w=vec0 precisaríamos lambda=0 ou vec utimesvec w=vec0, mas nenhum desses é garantido pela hipótese.

Passo 4

Contraexemplo explícito:
vec u=(1,0,0), vec v=(0,1,0), vec w=(1,1,0)
Calculamos
vec utimesvec v=(1,0,0)times(0,1,0)=(0,0,1), vec utimesvec w=(1,0,0)times(1,1,0)=(0,0,1),
portanto vec utimesvec v=vec utimesvec w. Mas
vec vtimesvec w=(0,1,0)times(1,1,0)=(0,0,-1)neqvec0
Isso mostra que a conclusão vec vtimesvec w=vec0 falha.

Resposta

A afirmação é falsa.

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