Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Vértices em A1(-5,0), A2(5,0), B1(0,-4) e B2(0,4).

Passo 1

O enunciado dá os vértices maiores A1(-5,0), A2(5,0) e os vértices menores B1(0,-4), B2(0,4) de uma elipse. Precisamos achar a equação canônica, o centro, os semieixos a e b, os focos, a excentricidade e, descrever os eixos e esboçar o gráfico. O conteúdo envolvido é a definição de elipse em coordenadas cartesianas com eixos alinhados aos eixos x e y.

Passo 2

Como os vértices maiores estão em (-5,0) e (5,0), o eixo maior tem comprimento 2a=10, logo
a = 5
Como os vértices menores estão em (0,-4) e (0,4), o eixo menor tem comprimento 2b=8, logo
b = 4
O centro da elipse é o ponto médio dos vértices maiores (ou menores), que é
(0,0)

Passo 3

Na forma canônica de uma elipse centrada em (0,0) com eixo maior em x e semieixos a e b temos
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a=5 e b=4 obtemos
x^225 + y^216 = 1

Passo 4

Para achar os focos usamos
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 16 = 3
Como o eixo maior está em x, os focos são
F1(-3,0) e F2(3,0)
A excentricidade é
e = ca = 35 = 0,6

Passo 5

Os eixos principais são:
– Eixo maior: segmento de (-5,0) a (5,0) de comprimento 10.
– Eixo menor: segmento de (0,-4) a (0,4) de comprimento 8.
O gráfico é uma elipse centrada na origem, alongada no sentido horizontal, interceptando os pontos dados.

Resposta

Equação:
x^225 + y^216 = 1
Centro: (0,0)
Vértices maiores: A1(-5,0), A2(5,0)
Vértices menores: B1(0,-4), B2(0,4)
Focos: F1(-3,0), F2(3,0)
Excentricidade: e = 0,6
Eixo maior: comprimento 10 sobre o eixo x
Eixo menor: comprimento 8 sobre o eixo y
Esboço: elipse centrada em (0,0), esticada horizontalmente, tocando (-5,0), (5,0), (0,-4), (0,4).

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