Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Centro
e passa nos pontos
e
.
Centro
Passo 1
O enunciado nos dá uma elipse com centro em
que passa pelos pontos
e
. O conteúdo é seção cônica (elipse) com eixos alinhados aos eixos coordenados. Para resolver, vamos
) medir as semi-distâncias do centro aos pontos dados,
) identificar os semi-eixos
e
,
) montar a equação padrão,
) calcular as distâncias focais e a excentricidade,
) determinar vértices e eixos,
) esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a distância do centro
até
(deslocamento horizontal) e até
(deslocamento vertical):
Como os deslocamentos são exatamente nas direções dos eixos, concluímos que os semi-eixos da elipse são
Passo 3
Para uma elipse centrada em
e com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), a equação padrão é
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Passo 4
Na elipse, a distância focal
satisfaz
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
Passo 5
A excentricidade da elipse é dada por
Passo 6
Os vértices principais são
– eixo maior (horizontal):
– eixo maior (horizontal):
– eixo menor (vertical):
Os eixos da elipse são as retas
(eixo maior) e
(eixo menor).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Vértices horizontais em
e . - Vértices verticais em
e . - Focos em
e .
Desenha-se uma oval alongada horizontalmente que passa por esses quatro vértices e contém os focos no interior.
Resposta
Equação:
Centro:
.
Semi-eixos: ,
.
Focos: e
.
Vértices: ,
,
,
.
Excentricidade: .
Eixos principais: reta (maior) e reta
(menor).
Esboço: oval com eixos alinhados e vértices conforme acima.
Semi-eixos:
Focos:
Vértices:
Excentricidade:
Eixos principais: reta
Esboço: oval com eixos alinhados e vértices conforme acima.