Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Centro C(2,-1) e passa nos pontos A(-3,-1) e B(2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá uma elipse com centro em C(2,-1) que passa pelos pontos A(-3,-1) e B(2,3). O conteúdo é seção cônica (elipse) com eixos alinhados aos eixos coordenados. Para resolver, vamos
1) medir as semi-distâncias do centro aos pontos dados,
2) identificar os semi-eixos a e b,
3) montar a equação padrão,
4) calcular as distâncias focais e a excentricidade,
5) determinar vértices e eixos,
6) esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a distância do centro C(2,-1) até A(-3,-1) (deslocamento horizontal) e até B(2,3) (deslocamento vertical):
CA = |-3-2| = 5, CB = |3-(-1)| = 4
Como os deslocamentos são exatamente nas direções dos eixos, concluímos que os semi-eixos da elipse são
a = 5 (semi-eixo maior, horizontal), b = 4 (semi-eixo menor, vertical)

Passo 3

Para uma elipse centrada em (h,k)=(2,-1) e com semi-eixos a (horizontal) e b (vertical), a equação padrão é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Substituindo h=2, k=-1, a=5, b=4, obtemos
(x-2)^25^2 + (y+1)^24^2 = 1 Longrightarrow (x-2)^225 + (y+1)^216 = 1

Passo 4

Na elipse, a distância focal c satisfaz
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 Longrightarrow c = 3
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
F1 = (2 - 3,,-1) = (-1,-1), F2 = (2 + 3,,-1) = (5,-1)

Passo 5

A excentricidade da elipse é dada por
e = ca = 35 = 0,6

Passo 6

Os vértices principais são
– eixo maior (horizontal):
V1 = (2-5,,-1) = (-3,-1), V2 = (2+5,,-1) = (7,-1);
– eixo menor (vertical):
W1 = (2,,-1-4) = (2,-5), W2 = (2,,-1+4) = (2,3)
Os eixos da elipse são as retas
y=-1 (eixo maior) e x=2 (eixo menor).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Centro em C(2,-1).
  • Vértices horizontais em (-3,-1) e (7,-1).
  • Vértices verticais em (2,-5) e (2,3).
  • Focos em (-1,-1) e (5,-1).
    Desenha-se uma oval alongada horizontalmente que passa por esses quatro vértices e contém os focos no interior.

Resposta

Equação:
(x-2)^225 + (y+1)^216 = 1
Centro: C(2,-1).
Semi-eixos: a=5, b=4.
Focos: (-1,-1) e (5,-1).
Vértices: (-3,-1), (7,-1), (2,-5), (2,3).
Excentricidade: e=0,6.
Eixos principais: reta y=-1 (maior) e reta x=2 (menor).
Esboço: oval com eixos alinhados e vértices conforme acima.

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