Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique!
Para quaisquer três vetores
e
vale
.
Para quaisquer três vetores
Passo 1
Resumindo o enunciado, a questão pergunta se o produto vetorial é associativo, ou seja, se para quaisquer vetores
vale
O conteúdo necessário é álgebra vetorial, em particular as identidades do produto vetorial triplo.
Passo 2
A identidade padrão do produto vetorial triplo é: para quaisquer vetores
,
Passo 3
Aplicando essa identidade com
,
e
, obtemos
Passo 4
Há também uma forma análoga para
. De fato,
Tomando
,
,
, vem
Passo 5
Comparando
vemos que, em geral, os termos
e
não coincidem, salvo casos especiais de paralelismo ou ortogonalidade.
Passo 6
Para garantir de vez, escolhemos um contra-exemplo numérico. Seja
,
,
.
Então
Então
enquanto
Como
, concluímos que a igualdade associativa não vale.
Resposta
A afirmação é falsa.