Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique!
Para quaisquer três vetores u, v e w vale u times(v times w)=(u times v) times w.

Passo 1

Resumindo o enunciado, a questão pergunta se o produto vetorial é associativo, ou seja, se para quaisquer vetores u,v,w vale
utimes(vtimesw) = (utimesv)timesw
O conteúdo necessário é álgebra vetorial, em particular as identidades do produto vetorial triplo.

Passo 2

A identidade padrão do produto vetorial triplo é: para quaisquer vetores a,b,c,
atimes(btimesc) = b,(acdotc) - c,(acdotb)

Passo 3

Aplicando essa identidade com a=u, b=v e c=w, obtemos
utimes(vtimesw) = v,(ucdotw) - w,(ucdotv)

Passo 4

Há também uma forma análoga para (atimesb)timesc. De fato,
(atimesb)timesc = b,(acdotc) - a,(bcdotc)
Tomando a=u, b=v, c=w, vem
(utimesv)timesw = v,(ucdotw) - u,(vcdotw)

Passo 5

Comparando
utimes(vtimesw) = v,(ucdotw) - w,(ucdotv) e (utimesv)timesw = v,(ucdotw) - u,(vcdotw),
vemos que, em geral, os termos -w,(ucdotv) e -u,(vcdotw) não coincidem, salvo casos especiais de paralelismo ou ortogonalidade.

Passo 6

Para garantir de vez, escolhemos um contra-exemplo numérico. Seja
u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0).
Então
vtimesw=(0,1,0)times(1,1,0)=(0,0,-1),
utimes(vtimesw) =(1,0,0)times(0,0,-1)=(0,1,0),
enquanto
utimesv=(1,0,0)times(0,1,0)=(0,0,1),
(utimesv)timesw =(0,0,1)times(1,1,0)=(-1,1,0)
Como (0,1,0)neq(-1,1,0), concluímos que a igualdade associativa não vale.

Resposta

A afirmação é falsa.

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