Determine se cada afirmação a seguir é verdadeira (V) ou falsa (F). Caso seja falsa, encontre um contra-exemplo.
( ) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
( ) Toda sequência possui uma subsequência convergente.
( ) Se
, então
para todo
.
( ) Se a sequência converge então ela é limitada.
( ) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.
( ) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
( ) Toda sequência possui uma subsequência convergente.
( ) Se
( ) Se a sequência converge então ela é limitada.
( ) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as cinco afirmações que preciso avaliar: cada uma deve ser marcada como verdadeira (V) ou falsa (F); se for falsa, devo dar um contra-exemplo.
As afirmações a analisar são:
- ( ) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
- ( ) Toda sequência possui uma subsequência convergente.
- ( ) Se
, então para todo . - ( ) Se a sequência converge então ela é limitada.
- ( ) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
- Trabalhamos com sequências reais
em . - É preciso usar definições e propriedades básicas: convergência, subsequência, sequência limitada, sequência monótona, limite de sequência.
Passo 2
Definições e fatos básicos que vou usar (explicados de forma prática):
- Sequência: é uma lista ordenada de números
; escrevemos isso como ou só . - Subsequência: tomamos alguns índices
e consideramos . É uma sequência extraída da original mantendo a ordem. - Convergência: dizemos
quando, para todo , existe tal que para todo . Isso significa: os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de a partir de algum índice. - Sequência limitada: existe
tal que para todo . - Sequência monótona: ou é monotona crescente (
para todo ) ou monotona decrescente ( para todo ). - Teorema do monotone convergence (teorema da convergência monotônica): toda sequência monotona e limitada em
converge; se é crescente e limitada superiormente, converge para seu supremo; se é decrescente e limitada inferiormente, converge para seu ínfimo. - Teorema de Bolzano–Weierstrass: toda sequência limitada em
tem uma subsequência convergente. Observação: a hipótese de limitado é essencial. - Propriedade da unicidade do limite: se
então toda subsequência também converge para ; por isso um enunciado que dá duas subsequências com limites distintos impede que a sequência original convirja.
Passo 3
Análise da afirmação 1: “Toda sequência limitada e monótona é convergente.”
- Isso é exatamente o enunciado do teorema da convergência monotônica. Vou explicar a ideia do porquê funciona.
- Suponha
monotona crescente e limitada superiormente. Defina . Pelo fato de ser supremo (menor cota superior), para qualquer existe algum índice com . Como a sequência é crescente, para todo vale ; também sempre . Logo para todo , isto é, . - Caso a sequência seja monotona decrescente e limitada inferiormente, faz-se análogo usando
. - Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação 2: “Toda sequência possui uma subsequência convergente.”
- O teorema de Bolzano–Weierstrass garante que “toda sequência limitada em
possui uma subsequência convergente”. Note que esse teorema exige a hipótese “limitada”. - O enunciado da afirmação 2 diz “toda sequência” sem pedir que seja limitada. Assim a afirmação é muito mais forte do que o teorema permite e, por isso, falsa.
- Contra-exemplo explícito: considere
. Então . Qualquer subsequência também diverge para , logo não existe subsequência convergente em . - Conclusão: a afirmação é falsa; contra-exemplo:
.
Passo 5
Análise da afirmação 3: “Se
, então
para todo
.”
- Interpretação: o enunciado diz que se o limite é maior ou igual a zero, então todos os termos da sequência são estritamente positivos.
- Isso é falso: o limite diz somente qual é o valor para o qual os termos se aproximam quando
cresce, não impõe a mesma propriedade para todos os termos (especialmente os primeiros) nem para termos pontuais. - Contra-exemplo simples: tome
. Então , e está satisfeito; porém para todo temos . Assim a afirmação falha. - Observação pedagógica: mesmo se
, não é obrigatoriamente verdade que todos os termos sejam positivos; o que vale é que a partir de certo índice todos os termos ficam positivos (se o limite é estritamente positivo). Por exemplo, se , existe tal que para vale , mas podem existir finitos muitos termos negativos no começo da sequência. - Conclusão: a afirmação é falsa; contra-exemplo:
.
Passo 6
Análise da afirmação 4: “Se a sequência converge então ela é limitada.”
- Isto é um fato padrão: toda sequência convergente é necessariamente limitada.
- Prova curta e didática: suponha
. Tome . Pelo que significa convergir, existe tal que para todo . Então para esses temos . Os índices são finitos, então os valores têm máximo finito, digamos . Defina . Assim para todo , logo a sequência é limitada. - Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação 5: “Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.”
- Vou usar a propriedade da unicidade do limite: se
, então qualquer subsequência também converge para . Portanto se existe uma subsequência com limite e outra subsequência com limite e , isso contradiz a unicidade do limite de uma sequência convergente. - Formalmente: suponha, por contradição, que
. Então por propriedade acima ambas as subsequências devem tender a , mas elas tendem respectivamente a e com : contradição. Portanto a sequência original não pode convergir. - Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Resposta
(V) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
(F) Toda sequência possui uma subsequência convergente. — contra-exemplo: .
(F) Se , então
para todo
. — contra-exemplo:
.
(V) Se a sequência converge então ela é limitada.
(V) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.
(F) Toda sequência possui uma subsequência convergente. — contra-exemplo:
(F) Se
(V) Se a sequência converge então ela é limitada.
(V) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.