Determine se cada afirmação a seguir é verdadeira (V) ou falsa (F). Caso seja falsa, encontre um contra-exemplo.
( ) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
( ) Toda sequência possui uma subsequência convergente.
( ) Se \lim x_{n} \geq 0, então x_{n}>0 para todo n.
( ) Se a sequência converge então ela é limitada.
( ) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as cinco afirmações que preciso avaliar: cada uma deve ser marcada como verdadeira (V) ou falsa (F); se for falsa, devo dar um contra-exemplo.
As afirmações a analisar são:
  1. ( ) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
  2. ( ) Toda sequência possui uma subsequência convergente.
  3. ( ) Se \lim x_{n} \geq 0, então x_{n}>0 para todo n.
  4. ( ) Se a sequência converge então ela é limitada.
  5. ( ) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Trabalhamos com sequências reais (x_n) em \mathbb{R}.
  • É preciso usar definições e propriedades básicas: convergência, subsequência, sequência limitada, sequência monótona, limite de sequência.

Passo 2

Definições e fatos básicos que vou usar (explicados de forma prática):
  • Sequência: é uma lista ordenada de números (x_1,x_2,x_3,\dots); escrevemos isso como (x_n)_{n\ge1} ou só (x_n).
  • Subsequência: tomamos alguns índices n_1<n_2<\cdots e consideramos (x_{n_k}). É uma sequência extraída da original mantendo a ordem.
  • Convergência: dizemos \lim_{n\to\infty} x_n = L quando, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Isso significa: os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L a partir de algum índice.
  • Sequência limitada: existe M>0 tal que |x_n|\le M para todo n.
  • Sequência monótona: ou é monotona crescente ( x_{n+1}\ge x_n para todo n) ou monotona decrescente ( x_{n+1}\le x_n para todo n).
  • Teorema do monotone convergence (teorema da convergência monotônica): toda sequência monotona e limitada em \mathbb{R} converge; se é crescente e limitada superiormente, converge para seu supremo; se é decrescente e limitada inferiormente, converge para seu ínfimo.
  • Teorema de Bolzano–Weierstrass: toda sequência limitada em \mathbb{R} tem uma subsequência convergente. Observação: a hipótese de limitado é essencial.
  • Propriedade da unicidade do limite: se x_n\to L então toda subsequência também converge para L; por isso um enunciado que dá duas subsequências com limites distintos impede que a sequência original convirja.

Passo 3

Análise da afirmação 1: “Toda sequência limitada e monótona é convergente.”
  • Isso é exatamente o enunciado do teorema da convergência monotônica. Vou explicar a ideia do porquê funciona.
  • Suponha (x_n) monotona crescente e limitada superiormente. Defina L=\sup\{x_n: n\in\mathbb{N}\}. Pelo fato de ser supremo (menor cota superior), para qualquer \varepsilon>0 existe algum índice N com x_N> L-\varepsilon. Como a sequência é crescente, para todo n\ge N vale x_n\ge x_N> L-\varepsilon; também sempre x_n\le L. Logo |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N, isto é, x_n\to L.
  • Caso a sequência seja monotona decrescente e limitada inferiormente, faz-se análogo usando L=\inf\{x_n\}.
  • Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação 2: “Toda sequência possui uma subsequência convergente.”
  • O teorema de Bolzano–Weierstrass garante que “toda sequência limitada em \mathbb{R} possui uma subsequência convergente”. Note que esse teorema exige a hipótese “limitada”.
  • O enunciado da afirmação 2 diz “toda sequência” sem pedir que seja limitada. Assim a afirmação é muito mais forte do que o teorema permite e, por isso, falsa.
  • Contra-exemplo explícito: considere x_n = n. Então \lim_{n\to\infty} x_n = +\infty. Qualquer subsequência (x_{n_k}) também diverge para +\infty, logo não existe subsequência convergente em \mathbb{R}.
  • Conclusão: a afirmação é falsa; contra-exemplo: \;x_n = n.

Passo 5

Análise da afirmação 3: “Se \lim x_{n} \geq 0, então x_{n}>0 para todo n.”
  • Interpretação: o enunciado diz que se o limite é maior ou igual a zero, então todos os termos da sequência são estritamente positivos.
  • Isso é falso: o limite diz somente qual é o valor para o qual os termos se aproximam quando n cresce, não impõe a mesma propriedade para todos os termos (especialmente os primeiros) nem para termos pontuais.
  • Contra-exemplo simples: tome x_n = -\dfrac{1}{n}. Então \lim_{n\to\infty} x_n = 0, e 0\ge 0 está satisfeito; porém para todo n temos x_n<0. Assim a afirmação falha.
  • Observação pedagógica: mesmo se \lim x_n>0, não é obrigatoriamente verdade que todos os termos sejam positivos; o que vale é que a partir de certo índice todos os termos ficam positivos (se o limite é estritamente positivo). Por exemplo, se \lim x_n = L>0, existe N tal que para n\ge N vale x_n>0, mas podem existir finitos muitos termos negativos no começo da sequência.
  • Conclusão: a afirmação é falsa; contra-exemplo: \;x_n = -\dfrac{1}{n}.

Passo 6

Análise da afirmação 4: “Se a sequência converge então ela é limitada.”
  • Isto é um fato padrão: toda sequência convergente é necessariamente limitada.
  • Prova curta e didática: suponha \lim_{n\to\infty} x_n = L. Tome \varepsilon=1. Pelo que significa convergir, existe N tal que |x_n-L|<1 para todo n\ge N. Então para esses n temos |x_n|\le |L|+1. Os índices 1,2,\dots,N-1 são finitos, então os valores |x_1|,\dots,|x_{N-1}| têm máximo finito, digamos M_0. Defina M=\max\{M_0,|L|+1\}. Assim |x_n|\le M para todo n, logo a sequência é limitada.
  • Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação 5: “Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.”
  • Vou usar a propriedade da unicidade do limite: se \lim_{n\to\infty} x_n = L, então qualquer subsequência (x_{n_k}) também converge para L. Portanto se existe uma subsequência com limite L_1 e outra subsequência com limite L_2 e L_1\neq L_2, isso contradiz a unicidade do limite de uma sequência convergente.
  • Formalmente: suponha, por contradição, que x_n\to L. Então por propriedade acima ambas as subsequências devem tender a L, mas elas tendem respectivamente a L_1 e L_2 com L_1\neq L_2: contradição. Portanto a sequência original não pode convergir.
  • Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Resposta

(V) Toda sequência limitada e monótona é convergente.
(F) Toda sequência possui uma subsequência convergente. — contra-exemplo: \;x_n = n.
(F) Se \lim x_{n} \geq 0, então x_{n}>0 para todo n. — contra-exemplo: \;x_n = -\dfrac{1}{n}.
(V) Se a sequência converge então ela é limitada.
(V) Se uma sequência possui duas subsequências convergindo a limites distintos, então a sequência não converge.

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