Seja
uma sequência qualquer. Mostre que:
Caso
seja monótona, logo toda subsequência
é monótona.
Caso
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é uma sequência monótona. - Pedido: Mostrar que qualquer subsequência
é também monótona.
Informações relevantes a serem usadas (retiradas do enunciado):
- Foi afirmado que
é monótona (não disseram se é crescente ou decrescente nem se é estritamente ou não); portanto devemos tratar os casos usuais: monótona não decrescente, monótona não crescente e as versões estritas.
Passo 2
Definições necessárias (explicadas de forma simples):
- Dizemos que
é não decrescente (ou monotone crescente fraca) quando
Aqui a ideia é: índices maiores dão termos maiores ou iguais.
- Dizemos que
é não crescente (ou monotone decrescente fraca) quando
- Versões estritas trocam
por e por .
Essas são as ferramentas conceituais que vamos aplicar ao provar que a propriedade se herda pela subsequência.
Passo 3
Escolhendo uma subsequência e fixando uma generalidade:
- Seja
uma subsequência arbitrária de . Por definição de subsequência, a sequência de índices satisfaz
ou seja,
sempre que
.
Essa propriedade dos índices é essencial: qualquer par de termos da subsequência corresponde a um par de índices estritamente crescentes na sequência original.
Passo 4
Provar o caso “não decrescente” (o mais comum):
- Suponha que
é não decrescente, isto é,
- Tome quaisquer
com . Como é estritamente crescente temos . - Aplicando a monotonicidade de
aos índices e obtemos
- Como isso vale para todo
, concluímos que a subsequência é também não decrescente.
Explicação em palavras: se os termos originais nunca diminuem ao aumentar o índice, pegar um sub-conjunto dos termos preservando a ordem dos índices não pode introduzir uma diminuição.
Passo 5
Provar o caso “não crescente”:
- Suponha que
é não crescente, isto é,
- Novamente, para quaisquer
temos . Aplicando a propriedade acima com e obtemos
- Portanto a subsequência
é não crescente.
Passo 6
Comentário sobre a versão estrita:
- Se
for estritamente crescente (isto é, ), então para obtemos e daí . Logo a subsequência é estritamente crescente. - Analogamente para estritamente decrescente.
Passo 7
Um exemplo concreto e a intuição final (para fixar o aprendizado):
- Exemplo: seja
. Essa sequência é estritamente crescente. Uma subsequência típica é com , ou seja ; claramente também estritamente crescente porque quando . - Intuição: monotonicidade é uma propriedade que compara valores conforme a ordem dos índices. Como uma subsequência só pega alguns índices, mas respeita a ordem deles, as comparações entre quaisquer dois termos da subsequência já eram verdadeiras na sequência original; por isso a monotonicidade se preserva.
Resposta
Toda subsequência de uma sequência monótona é monótona (no mesmo sentido: se
é não decrescente então toda subsequência é não decrescente; se
é não crescente então toda subsequência é não crescente; análogas conclusões valem para as versões estritas).