Seja \left(x_{n}\right) uma sequência qualquer. Mostre que:
Caso \left(x_{n}\right) seja monótona, logo toda subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} é monótona.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: (x_n)_{n\in\mathbb{N}} é uma sequência monótona.
  • Pedido: Mostrar que qualquer subsequência (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} é também monótona.
Informações relevantes a serem usadas (retiradas do enunciado):
  • Foi afirmado que (x_n) é monótona (não disseram se é crescente ou decrescente nem se é estritamente ou não); portanto devemos tratar os casos usuais: monótona não decrescente, monótona não crescente e as versões estritas.

Passo 2

Definições necessárias (explicadas de forma simples):
  • Dizemos que (x_n) é não decrescente (ou monotone crescente fraca) quando
\text{para todo } m,n\in\mathbb{N},\quad m<n \implies x_m \le x_n.
Aqui a ideia é: índices maiores dão termos maiores ou iguais.
  • Dizemos que (x_n) é não crescente (ou monotone decrescente fraca) quando
\text{para todo } m,n\in\mathbb{N},\quad m<n \implies x_m \ge x_n.
  • Versões estritas trocam \le por < e \ge por >.
Essas são as ferramentas conceituais que vamos aplicar ao provar que a propriedade se herda pela subsequência.

Passo 3

Escolhendo uma subsequência e fixando uma generalidade:
  • Seja (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} uma subsequência arbitrária de (x_n). Por definição de subsequência, a sequência de índices (n_k)_{k\in\mathbb{N}} satisfaz
n_1 < n_2 < n_3 < \cdots,
ou seja, n_k < n_\ell sempre que k<\ell.
Essa propriedade dos índices é essencial: qualquer par de termos da subsequência corresponde a um par de índices estritamente crescentes na sequência original.

Passo 4

Provar o caso “não decrescente” (o mais comum):
  • Suponha que (x_n) é não decrescente, isto é,
\text{se } i<j \text{ então } x_i \le x_j.ã
  • Tome quaisquer k,\ell\in\mathbb{N} com k<\ell. Como (n_k) é estritamente crescente temos n_k < n_\ell.
  • Aplicando a monotonicidade de (x_n) aos índices n_k e n_\ell obtemos
x_{n_k} \le x_{n_\ell}.
  • Como isso vale para todo k<\ell, concluímos que a subsequência (x_{n_k}) é também não decrescente.
Explicação em palavras: se os termos originais nunca diminuem ao aumentar o índice, pegar um sub-conjunto dos termos preservando a ordem dos índices não pode introduzir uma diminuição.

Passo 5

Provar o caso “não crescente”:
  • Suponha que (x_n) é não crescente, isto é,
\text{se } i<j \text{ então } x_i \ge x_j.ã
  • Novamente, para quaisquer k<\ell temos n_k < n_\ell. Aplicando a propriedade acima com i=n_k e j=n_\ell obtemos
x_{n_k} \ge x_{n_\ell}.
  • Portanto a subsequência (x_{n_k}) é não crescente.

Passo 6

Comentário sobre a versão estrita:
  • Se (x_n) for estritamente crescente (isto é, i<j \implies x_i < x_j), então para k<\ell obtemos n_k<n_\ell e daí x_{n_k} < x_{n_\ell}. Logo a subsequência é estritamente crescente.
  • Analogamente para estritamente decrescente.

Passo 7

Um exemplo concreto e a intuição final (para fixar o aprendizado):
  • Exemplo: seja x_n = n. Essa sequência é estritamente crescente. Uma subsequência típica é x_{n_k} com n_k=2k, ou seja x_{n_k}=2k; claramente também estritamente crescente porque 2k<2\ell quando k<\ell.
  • Intuição: monotonicidade é uma propriedade que compara valores conforme a ordem dos índices. Como uma subsequência só pega alguns índices, mas respeita a ordem deles, as comparações entre quaisquer dois termos da subsequência já eram verdadeiras na sequência original; por isso a monotonicidade se preserva.

Resposta

Toda subsequência de uma sequência monótona é monótona (no mesmo sentido: se (x_n) é não decrescente então toda subsequência é não decrescente; se (x_n) é não crescente então toda subsequência é não crescente; análogas conclusões valem para as versões estritas).

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