Dada uma sequência
, seja
com
para todo
(
é a função que define a sequência
). Mostre que (
) é limitada superiormente se, e somente se, o conjunto
(imagem da função
) possuir supremo.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
para todo
. Ou seja, a imagem
é o conjunto de todos os termos da sequência
.
O que é pedido: demonstrar a equivalência
Informações relevantes dadas:
- A função
está definida em todo , logo é não vazia. - Trabalhamos em
, então podemos usar o axioma da completude: todo subconjunto não vazio de que é limitado superiormente possui supremo em .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e entender bem as definições que vamos usar (teste rápido de conceitos, como numa prova):
Definição de limitada superiormente para a sequência:
é limitada superiormente se existe um número real
tal que
Nesse caso dizemos que
é uma cota superior da sequência.
Definição de supremo de um conjunto
: um número
é o supremo de
(escrevemos
) se
-
é uma cota superior de : para todo ; -
é o menor das cotas superiores: para toda cota superior de vale .
Nota importante (axioma da completude): se
é não vazio e limitado superiormente, então existe
.
Passo 3
Prova da implicação
: se
é limitada superiormente então
possui supremo.
- Suponha que
é limitada superiormente. Então existe tal que - Como
, a desigualdade anterior diz exatamente que é uma cota superior do conjunto . Portanto é limitado superiormente. - Além disso
é não vazio porque não é vazio e está definida em todo . - Aplicando o axioma da completude (todo conjunto não vazio e limitado superiormente em
tem supremo), concluímos que possui .
Comentário didático: na prova praticamente só se traduz a condição de cota superior para termos da sequência em cota superior para os elementos do conjunto imagem; depois usamos completude para garantir existência do supremo.
Passo 4
Prova da implicação
: se
possui supremo então
é limitada superiormente.
- Suponha que
existe (e é um número real). - Pela propriedade de supremo,
é uma cota superior de . Isso significa que para todo temos . - Em particular, para todo
o elemento pertence a , logo - Assim
é uma cota superior da sequência, isto é, é limitada superiormente.
Comentário didático: esta direção é ainda mais direta — o supremo, por definição, já é uma cota superior do conjunto imagem, então serve como cota superior para todos os termos da sequência.
Passo 5
Observações finais e exemplos rápidos para fixar o conceito (como numa revisão antes da prova):
- Exemplo (limitada): se
, então é limitado superiormente (por exemplo por ), logo e a sequência é limitada superiormente. - Exemplo (não limitada): se
, então não é limitada superiormente, logo não possui supremo em (na verdade tem supremo no estendido, mas não em ). Assim a sequência não é limitada superiormente. - Dica prática para prova: para mostrar que uma sequência é limitada superiormente, basta exibir uma cota
válida para todos os . Para mostrar que a imagem tem supremo, normalmente mostra-se que a imagem é não vazia e limitada superiormente (a completude garante então existência do supremo). Para a outra mão, lembrar que o supremo já é uma cota superior utilizável para a sequência.
Resposta
A sequência
é limitada superiormente se, e somente se, o conjunto
possui supremo.