Dada uma sequência \left(x_{n}\right), seja x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} com x(n)=x_{n} para todo n \in \mathbb{N} ( x é a função que define a sequência x_{n} ). Mostre que ( x_{n} ) é limitada superiormente se, e somente se, o conjunto x(\mathbb{N}) (imagem da função x ) possuir supremo.

Passo 1

O enunciado dá uma função x:\mathbb{N}\to\mathbb{R} definida por x(n)=x_n para todo n\in\mathbb{N}. Ou seja, a imagem x(\mathbb{N}) é o conjunto de todos os termos da sequência \left(x_n\right).
O que é pedido: demonstrar a equivalência
\text{``\((x_n)\) é limitada superiormente''} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{``\(x(\mathbb{N})\) possui supremo''}.é
Informações relevantes dadas:
  • A função x está definida em todo \mathbb{N}, logo x(\mathbb{N}) é não vazia.
  • Trabalhamos em \mathbb{R}, então podemos usar o axioma da completude: todo subconjunto não vazio de \mathbb{R} que é limitado superiormente possui supremo em \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e entender bem as definições que vamos usar (teste rápido de conceitos, como numa prova):
Definição de limitada superiormente para a sequência: \left(x_n\right) é limitada superiormente se existe um número real M tal que
x_n \le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Nesse caso dizemos que M é uma cota superior da sequência.
Definição de supremo de um conjunto A\subset\mathbb{R}: um número s\in\mathbb{R} é o supremo de A (escrevemos s=\sup A) se
  1. s é uma cota superior de A: a\le s para todo a\in A;
  2. s é o menor das cotas superiores: para toda cota superior u de A vale s\le u.
Nota importante (axioma da completude): se A\subset\mathbb{R} é não vazio e limitado superiormente, então existe \sup A\in\mathbb{R}.

Passo 3

Prova da implicação \Rightarrow: se (x_n) é limitada superiormente então x(\mathbb{N}) possui supremo.
  • Suponha que \left(x_n\right) é limitada superiormente. Então existe M\in\mathbb{R} tal que x_n \le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
  • Como x(\mathbb{N})=\{x_n : n\in\mathbb{N}\}, a desigualdade anterior diz exatamente que M é uma cota superior do conjunto x(\mathbb{N}). Portanto x(\mathbb{N}) é limitado superiormente.
  • Além disso x(\mathbb{N}) é não vazio porque \mathbb{N} não é vazio e x está definida em todo \mathbb{N}.
  • Aplicando o axioma da completude (todo conjunto não vazio e limitado superiormente em \mathbb{R} tem supremo), concluímos que x(\mathbb{N}) possui \sup x(\mathbb{N})\in\mathbb{R}.
Comentário didático: na prova praticamente só se traduz a condição de cota superior para termos da sequência em cota superior para os elementos do conjunto imagem; depois usamos completude para garantir existência do supremo.

Passo 4

Prova da implicação \Leftarrow: se x(\mathbb{N}) possui supremo então (x_n) é limitada superiormente.
  • Suponha que s=\sup x(\mathbb{N}) existe (e é um número real).
  • Pela propriedade de supremo, s é uma cota superior de x(\mathbb{N}). Isso significa que para todo y\in x(\mathbb{N}) temos y\le s.
  • Em particular, para todo n\in\mathbb{N} o elemento x_n pertence a x(\mathbb{N}), logo x_n \le s\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
  • Assim s é uma cota superior da sequência, isto é, \left(x_n\right) é limitada superiormente.
Comentário didático: esta direção é ainda mais direta — o supremo, por definição, já é uma cota superior do conjunto imagem, então serve como cota superior para todos os termos da sequência.

Passo 5

Observações finais e exemplos rápidos para fixar o conceito (como numa revisão antes da prova):
  • Exemplo (limitada): se x_n=\frac{1}{n}, então x(\mathbb{N})=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\} é limitado superiormente (por exemplo por M=1), logo \sup x(\mathbb{N})=1 e a sequência é limitada superiormente.
  • Exemplo (não limitada): se x_n=n, então x(\mathbb{N})=\mathbb{N} não é limitada superiormente, logo não possui supremo em \mathbb{R} (na verdade tem supremo +\infty no estendido, mas não em \mathbb{R}). Assim a sequência não é limitada superiormente.
  • Dica prática para prova: para mostrar que uma sequência é limitada superiormente, basta exibir uma cota M válida para todos os n. Para mostrar que a imagem tem supremo, normalmente mostra-se que a imagem é não vazia e limitada superiormente (a completude garante então existência do supremo). Para a outra mão, lembrar que o supremo já é uma cota superior utilizável para a sequência.

Resposta

A sequência (x_n) é limitada superiormente se, e somente se, o conjunto x(\mathbb{N}) possui supremo.

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