Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando suas afirmações.
(b) Dado uma matriz da forma (ll1 & alpha 2 & 1), podemos afirmar que independente do valor de alpha, seus autovalores serão sempre reais de sinais distintos.

Passo 1

Estamos com a matriz A=1 & alpha2 & 1. A questão é do conteúdo de autovalores e polinômio característico, e vamos precisar lembrar que os autovalores de uma matriz 2×2 vêm das raízes do seu polinômio característico, isto é, det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico calculando det(A-lambda I). Isso dá:
detl(1-lambda & alpha2 & 1-lambdar) = (1-lambda)^2 - 2alpha

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática (1-lambda)^2 - 2alpha=0. Expandindo e usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
lambda = 1 pm raiz2alpha
Para que essas raízes sejam reais, precisamos ter 2alpha>= 0, ou seja, alpha>= 0. Se alpha<0, as raízes são complexas e não reais.

Passo 4

Para verificar se os sinais são opostos, calculamos o produto lambda1lambda2. Como lambda1lambda2 = (1+raiz2alpha)(1-raiz2alpha) = 1 - 2alpha, teríamos sinais opostos somente quando 1-2alpha<0, isto é, alpha>tfrac12.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que “independente do valor de alpha, os autovalores são sempre reais de sinais distintos” não se sustenta: eles só são reais se alpha>=0 e só têm sinais opostos se alpha>tfrac12.

Resposta

Falso. Os autovalores são 1pmraiz2alpha, que só são reais para alpha>=0 e só têm sinais opostos se alpha>tfrac12.

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