Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando suas afirmações.
(b) Dado uma matriz da forma
, podemos afirmar que independente do valor de
, seus autovalores serão sempre reais de sinais distintos.
(b) Dado uma matriz da forma
Passo 1
Estamos com a matriz
. A questão é do conteúdo de autovalores e polinômio característico, e vamos precisar lembrar que os autovalores de uma matriz 2×2 vêm das raízes do seu polinômio característico, isto é,
.
Passo 2
Primeiro, montamos o polinômio característico calculando
. Isso dá:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
. Expandindo e usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
Para que essas raízes sejam reais, precisamos ter
Passo 4
Para verificar se os sinais são opostos, calculamos o produto
. Como
, teríamos sinais opostos somente quando
, isto é,
.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que “independente do valor de
, os autovalores são sempre reais de sinais distintos” não se sustenta: eles só são reais se
e só têm sinais opostos se
.
Resposta
Falso. Os autovalores são
, que só são reais para
e só têm sinais opostos se
.