Determine a equação do plano tangente à
paralelo ao plano
.
Passo 1
Primeiro, resumindo o enunciado: temos a superfície dada por
e queremos o plano tangente que seja paralelo ao plano
Para obter o plano tangente, vamos usar que o gradiente de
é normal ao plano tangente.
é normal ao plano tangente.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Em um ponto
, o plano tangente tem normal
.
Queremos que esse vetor seja paralelo a , ou seja,
Queremos que esse vetor seja paralelo a
para algum escalar
.
Passo 3
Da igualdade acima obtemos o sistema componente a componente:
Desse sistema segue
Passo 4
Como o ponto
pertence à superfície, substituímos em
para encontrar
. Fazendo as contas, vem
Passo 5
Para cada sinal de
obtemos dois pontos:
Passo 6
Para escrever a equação do plano tangente usamos
.
Como
, isso simplifica para
Como
que se rearranja em
Substituindo
resulta nos dois planos
Passo 7
obtidos:
Passo 8
Resposta
As equações dos planos tangentes são