Determine a equação do plano tangente à x^2-2 y^2-4 z^2=16 paralelo ao plano 4 x-2 y+4 z=5.

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: temos a superfície dada por
x^2 - 2y^2 - 4z^2 = 16
e queremos o plano tangente que seja paralelo ao plano
4x - 2y + 4z = 5
Para obter o plano tangente, vamos usar que o gradiente de
F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2
é normal ao plano tangente.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) = (2x,,-4y,,-8z)
Em um ponto (x0,y0,z0), o plano tangente tem normal
nabla F(x0,y0,z0).
Queremos que esse vetor seja paralelo a (4,-2,4), ou seja,
nabla F(x0,y0,z0) = lambda,(4,-2,4)
para algum escalar lambda.

Passo 3

Da igualdade acima obtemos o sistema componente a componente:
2x0 = 4lambda, -4y0 = -2lambda, -8z0 = 4lambda
Desse sistema segue
x0 = 2lambda, y0 = lambda2, z0 = -lambda2

Passo 4

Como o ponto (x0,y0,z0) pertence à superfície, substituímos em
x0^2 - 2y0^2 - 4z0^2 = 16
para encontrar lambda. Fazendo as contas, vem
5lambda^22 = 16 Longrightarrow lambda^2 = 325 Longrightarrow lambda = pm 4raiztfrac25

Passo 5

Para cada sinal de lambda obtemos dois pontos:
(x0,y0,z0) = l(8raiztfrac25,,2raiztfrac25,,-2raiztfrac25r) e (-8raiztfrac25,,-2raiztfrac25,,2raiztfrac25)

Passo 6

Para escrever a equação do plano tangente usamos
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0.
Como
nabla F(x0,y0,z0)=lambda(4,-2,4), isso simplifica para
4(x - x0) - 2(y - y0) + 4(z - z0) = 0
que se rearranja em
4x - 2y + 4z = 5lambda
Substituindo lambda = pm 4raiz2/5 resulta nos dois planos

Passo 7

obtidos:

Passo 8

4x - 2y + 4z = 4raiz10, 4x - 2y + 4z = -4raiz10

Resposta

As equações dos planos tangentes são
4x - 2y + 4z = 4raiz10e4x - 2y + 4z = -4raiz10

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