Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula para a soma parcial da série $ \frac{5}{1 \cdot 2} + \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{5}{n(n+1)} + \cdots $. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries numéricas, mais especificamente às somas parciais de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar cada termo da série e depois somar esses termos de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é $ \frac{5}{n(n+1)} $. Para simplificar essa fração, podemos usar a técnica de frações parciais. A ideia é escrever $ \frac{5}{n(n+1)} $ como a soma de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por $ n(n+1) $ para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar os valores de $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores específicos para $ n $ para simplificar os cálculos.
Se $ n = -1 $:
Se $ n = 0 $:
Passo 5
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever o termo geral da série:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos de $ k = 1 $ até $ k = n $:
Expandindo a soma:
Passo 7
Observamos que muitos termos se cancelam, esse fenômeno é chamado de soma telescópica. Após o cancelamento, só restam os primeiros e os últimos termos:
Resposta
A soma parcial da série é $ S_n = 5 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) $. Se a série convergir, quando $ n $ tende ao infinito, a soma total é $ 5 $.