Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
51 cdot 2+52 cdot 3+53 cdot 4+cdots+5n(n+1)+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula para a soma parcial da série $ \frac{5}{1 \cdot 2} + \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{5}{n(n+1)} + \cdots $. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries numéricas, mais especificamente às somas parciais de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar cada termo da série e depois somar esses termos de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é $ \frac{5}{n(n+1)} $. Para simplificar essa fração, podemos usar a técnica de frações parciais. A ideia é escrever $ \frac{5}{n(n+1)} $ como a soma de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
5n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por $ n(n+1) $ para eliminar os denominadores, temos:
n(n+1)

Passo 4

Agora, vamos determinar os valores de $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores específicos para $ n $ para simplificar os cálculos.
Se $ n = -1 $:
A
Se $ n = 0 $:
B

Passo 5

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever o termo geral da série:
A

Passo 6

Agora, vamos somar os termos de $ k = 1 $ até $ k = n $:
k = 1
Expandindo a soma:
k = n

Passo 7

Observamos que muitos termos se cancelam, esse fenômeno é chamado de soma telescópica. Após o cancelamento, só restam os primeiros e os últimos termos:
Sn = 5 - 5n+1

Resposta

A soma parcial da série é $ S_n = 5 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) $. Se a série convergir, quando $ n $ tende ao infinito, a soma total é $ 5 $.

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