De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das três arestas é constante e igual a a a(a>0), qual é o que tem volume máximo?

Passo 1

Neste exercício vamos resolver um problema de otimização de volume de um paralelepípedo retangular, cuja soma das três arestas é fixa e igual a a>0. O conteúdo principal é otimização com restrição, e para resolver vamos usar a Desigualdade Aritmético-Geométrica (AM-GM).

Passo 2

Definimos as arestas positivas por x, y, z>0. A função objetivo é o volume
V(x,y,z)=x,y,z
e a restrição é
x+y+z=a

Passo 3

Aplicamos a desigualdade AM-GM a x,y,z:
x+y+z3>=raiz[3]xyz
Como x+y+z=a, temos
raiz[3]xyz<=a3
elevando ao cubo:
xyz<=l(tfraca3r)^3
A igualdade ocorre exatamente quando x=y=z.

Passo 4

Concluímos que o volume máximo é
Vmax=l(tfraca3r)^3
e é atingido para x=y=z=tfraca3. Portanto, o paralelepípedo de maior volume é um cubo de arestas a/3.

Resposta

O paralelepípedo de volume máximo é o cubo cujas arestas valem a/3.

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