De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das três arestas é constante e igual a a
, qual é o que tem volume máximo?
Passo 1
Neste exercício vamos resolver um problema de otimização de volume de um paralelepípedo retangular, cuja soma das três arestas é fixa e igual a
. O conteúdo principal é otimização com restrição, e para resolver vamos usar a Desigualdade Aritmético-Geométrica (AM-GM).
Passo 2
Definimos as arestas positivas por
. A função objetivo é o volume
e a restrição é
Passo 3
Aplicamos a desigualdade AM-GM a
:
Como
, temos
elevando ao cubo:
A igualdade ocorre exatamente quando
.
Passo 4
Concluímos que o volume máximo é
e é atingido para
. Portanto, o paralelepípedo de maior volume é um cubo de arestas
.
Resposta
O paralelepípedo de volume máximo é o cubo cujas arestas valem
.