Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando suas afirmações.
(a) Se
e
são soluções de um sistema de EDOS que tem a forma
, com
, então
também será solução, independente da escolha das constantes
e
;
(a) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, num sistema de EDOs linear não homogêneo da forma
com
, quaisquer constantes
e
garantem que
seja também solução, onde
e
já são soluções.
Passo 2
Em sistemas lineares homogêneos (isto é,
), vale o princípio da superposição: toda combinação linear de soluções é solução. Mas quando há o termo não homogêneo
, o conjunto de soluções forma um espaço afim e não um espaço vetorial, de modo que a superposição simples não vale.
Passo 3
Para testar diretamente, façamos
. Então
e
Passo 4
Como
e
são soluções, temos
. Logo
$$Y
‘-AY-B = C_1(Y_1’-AY_1-B)+C_2(Y_2’-AY_2-B)+(C_1+C_2-1)B = (C_1+C_2-1)B.$$
Passo 5
Para que isso seja zero (i.e. para que
seja solução), é preciso
. Portanto, não vale para quaisquer
.
Resposta
A afirmação é falsa.