Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando suas afirmações.
(a) Se Y1 e Y2 são soluções de um sistema de EDOS que tem a forma Y^prime=A Y+B, com B neq 0, então Y=C1 Y1+C2 Y2 também será solução, independente da escolha das constantes C1 e C2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, num sistema de EDOs linear não homogêneo da forma Y'=A,Y+B com Bneq0, quaisquer constantes C1 e C2 garantem que Y=C1Y1+C2Y2 seja também solução, onde Y1 e Y2 já são soluções.

Passo 2

Em sistemas lineares homogêneos (isto é, Y'=A,Y), vale o princípio da superposição: toda combinação linear de soluções é solução. Mas quando há o termo não homogêneo B, o conjunto de soluções forma um espaço afim e não um espaço vetorial, de modo que a superposição simples não vale.

Passo 3

Para testar diretamente, façamos Y=C1Y1+C2Y2. Então
Y'=C1Y1'+C2Y2'
e
AY+B = A(C1Y1+C2Y2)+B = C1AY1+C2AY2+B

Passo 4

Como Y1 e Y2 são soluções, temos Yi'=AYi+B. Logo
$$Y
‘-AY-B = C_1(Y_1’-AY_1-B)+C_2(Y_2’-AY_2-B)+(C_1+C_2-1)B = (C_1+C_2-1)B.$$

Passo 5

Para que isso seja zero (i.e. para que Y seja solução), é preciso C1+C2=1. Portanto, não vale para quaisquer C1, C2.

Resposta

A afirmação é falsa.

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