Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos, d=mdc(a, b) e k um inteiro não nulo. Prove que:
Se k mid a e k mid b, então mdc(ak, bk)=d|k|.

Passo 1

Estamos com dois inteiros não simultaneamente nulos a e b, definimos d=gcd(a,b) e temos um inteiro não nulo k que divide tanto a quanto b. O objetivo é mostrar que gcdl(a/k,,b/kr)=d/|k|. Vamos usar a propriedade fundamental de que gcd(kA,kB)=|k|gcd(A,B).

Passo 2

Como kmid a e kmid b, existem inteiros A e B tais que
a = kA,
b = kB

Passo 3

Definimos g=gcd(A,B). Pelo teorema de fatoração do máximo divisor comum, podemos escrever
A = g x,
B = g y,
com x e y inteiros coprimos ( gcd(x,y)=1). Substituindo em a e b obtemos
a = k,g,x,
b = k,g,y

Passo 4

Agora calculamos gcd(a,b) usando a propriedade de fator comum:
gcd(a,b) = gcd(k g x,,k g y) = |k|,g,gcd(x,y) = |k|,g,
já que gcd(x,y)=1. Mas por definição gcd(a,b)=d, logo
d = |k|,g Longrightarrow g = d|k|
Como g=gcd(A,B)=gcd(a/k,b/k), concluímos o que se pedia.

Resposta

gcd(a/k,,b/k)=dfracd|k|.

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