Sejam
e
inteiros não simultaneamente nulos,
e
um inteiro não nulo. Prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Estamos com dois inteiros não simultaneamente nulos
e
, definimos
e temos um inteiro não nulo
que divide tanto
quanto
. O objetivo é mostrar que
. Vamos usar a propriedade fundamental de que
.
Passo 2
Como
e
, existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Definimos
. Pelo teorema de fatoração do máximo divisor comum, podemos escrever
com
e
inteiros coprimos (
). Substituindo em
e
obtemos
Passo 4
Agora calculamos
usando a propriedade de fator comum:
já que
. Mas por definição
, logo
Como
, concluímos o que se pedia.