Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos, d=mdc(a, b) e k um inteiro não nulo. Prove que:
mdc(k a, k b)=|k| cdot d;

Passo 1

Então, a gente tem dois números inteiros, $ a $ e $ b $, que não são ambos zero ao mesmo tempo. Sabemos que o máximo divisor comum (mdc) deles é $ d $. Também temos um número inteiro $ k $ que não é zero. A tarefa é provar que o mdc de $ k \cdot a $ e $ k \cdot b $ é igual a $ |k| $ vezes $ d $. Vamos usar conceitos de máximo divisor comum para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (mdc). O mdc de dois números é o maior número que divide os dois sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 12 e 18 é 6, porque 6 é o maior número que divide os dois.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos números $ k \cdot a $ e $ k \cdot b $. Queremos encontrar o mdc desses dois números. Como $ k $ é um fator comum, podemos pensar que ele influencia o mdc.

Passo 4

Sabemos que se $ d $ é o mdc de $ a $ e $ b $, então $ d $ divide tanto $ a $ quanto $ b $. Isso significa que $ a = d \cdot m $ e $ b = d \cdot n $, onde $ m $ e $ n $ são inteiros que não têm divisores comuns além de 1.

Passo 5

Agora, substituímos $ a $ e $ b $ nas expressões $ k \cdot a $ e $ k \cdot b $:
a
b

Passo 6

O mdc de $ k \cdot d \cdot m $ e $ k \cdot d \cdot n $ é o produto de $ |k| \cdot d $ e o mdc de $ m $ e $ n $. Como $ m $ e $ n $ não têm divisores comuns além de 1, o mdc de $ m $ e $ n $ é 1.

Passo 7

Então, temos:
mdc(k cdot a, k cdot b) = |k| cdot d cdot mdc(m, n) = |k| cdot d cdot 1 = |k| cdot d

Resposta

Portanto, provamos que $ \operatorname{mdc}(k \cdot a, k \cdot b) = |k| \cdot d $.

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