Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que x^2-1x-1=x+1 para todo x in R.

Passo 1

O enunciado afirma que x^2-1x-1=x+1 para todo xinR. O conteúdo aqui é análise de funções racionais (domínio) e fatoração de polinômios para simplificar expressões.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador x^2-1 como produto de dois termos:
x^2-1x-1 = (x-1)(x+1)x-1

Passo 3

Para valores de x tais que x-1neq0 (ou seja, xneq1), podemos cancelar o fator x-1 no numerador e denominador por se tratar de uma divisão válida entre expressões algébricas não nulas. Assim obtemos:
(x-1)(x+1)x-1 = x+1, xneq1

Passo 4

Porém, no ponto x=1 o denominador x-1 é zero, o que torna x^2-1x-1 uma expressão indefinida. Logo não faz sentido afirmar a igualdade em x=1.
Como existe pelo menos um valor ( x=1) em que o lado esquerdo não está definido, a afirmação “para todo xinR” é falsa.

Resposta

Falsa, pois em x=1 o denominador zera e x^2-1x-1 não está definido, logo a igualdade não vale para todo xinR.

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