Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que
para todo
.
Temos que
Passo 1
O enunciado afirma que
para todo
. O conteúdo aqui é análise de funções racionais (domínio) e fatoração de polinômios para simplificar expressões.
Passo 2
Começamos fatorando o numerador
como produto de dois termos:
Passo 3
Para valores de
tais que
(ou seja,
), podemos cancelar o fator
no numerador e denominador por se tratar de uma divisão válida entre expressões algébricas não nulas. Assim obtemos:
Passo 4
Porém, no ponto
o denominador
é zero, o que torna
uma expressão indefinida. Logo não faz sentido afirmar a igualdade em
.
Como existe pelo menos um valor ( ) em que o lado esquerdo não está definido, a afirmação “para todo
” é falsa.
Como existe pelo menos um valor (
Resposta
Falsa, pois em
o denominador zera e
não está definido, logo a igualdade não vale para todo
.