O comprimento do gráfico de uma função f(x), definida no intervalo [a, b], é dado pela integral C=integrala^b raiz1+f^prime(x)^2 d x. Considere a função f(x)=ln (1-x^2), definida para -1 / 2 <= x <= 1 / 2.
Verifique que raiz1+f^prime(x)^2 é da forma p(x) / q(x), em que p(x) e q(x) são polinômios do segundo grau.

Passo 1

Estamos lidando com o comprimento de arco de uma função no intervalo [–1/2, 1/2], cujo comprimento é dado por C=∫_ab√{1+f′(x)2}dx. A tarefa aqui é pegar f(x)=ln(1–x^2), calcular f′(x) e mostrar que √{1+f′(x)^2} se escreve como p(x)/q(x), onde p e q são polinômios de grau 2.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=ln(1–x^2), usamos a regra da cadeia. Temos
f'(x)=ddxl(1-x^2r)cdot11-x^2 = -2x1-x^2

Passo 3

Em seguida formamos 1+f′(x)^2 substituindo f′(x):
$$1 + f’(x)^2 = 1 + \biggl(\frac{-2x}{1-x2}\biggr)2 = 1 + \frac{4x2}{(1-x2)^2}.
$$

Passo 4

Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador e simplificamos o numerador:
$$1 + \frac{4x2}{(1-x2)^2} = \frac{(1-x2)2 + 4x2}{(1-x2)^2} = \frac{1 - 2x^2 + x^4 + 4x2}{(1-x2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + x4}{(1-x2)^2} = \frac{(x2+1)2}{(1-x2)2}.
$$

Passo 5

Como estamos dentro da raiz, obtemos
raiz1 + f'(x)^2 = raiz(x^2+1)^2(1-x^2)^2 = x^2+11-x^2, pois em [–1/2,1/2] o sinal de cima e de baixo é positivo.

Passo 6

Portanto mostramos que √{1+f′(x)^2} = p(x)/q(x), com p(x)=x^2+1 e q(x)=1–x^2, ambos polinômios de segundo grau.

Resposta

p(x)=x^2+1 e q(x)=1-x^2

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