O comprimento do gráfico de uma função
, definida no intervalo
, é dado pela integral
. Considere a função
, definida para
.
Verifique que
é da forma
, em que
e
são polinômios do segundo grau.
Verifique que
Passo 1
Estamos lidando com o comprimento de arco de uma função no intervalo [–1/2, 1/2], cujo comprimento é dado por C=∫_ab√{1+f′(x)2}dx. A tarefa aqui é pegar f(x)=ln(1–x^2), calcular f′(x) e mostrar que √{1+f′(x)^2} se escreve como p(x)/q(x), onde p e q são polinômios de grau 2.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=ln(1–x^2), usamos a regra da cadeia. Temos
Passo 3
Em seguida formamos 1+f′(x)^2 substituindo f′(x):
$$1 + f’(x)^2 = 1 + \biggl(\frac{-2x}{1-x2}\biggr)2 = 1 + \frac{4x2}{(1-x2)^2}.
$$
Passo 4
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador e simplificamos o numerador:
$$1 + \frac{4x2}{(1-x2)^2} = \frac{(1-x2)2 + 4x2}{(1-x2)^2} = \frac{1 - 2x^2 + x^4 + 4x2}{(1-x2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + x4}{(1-x2)^2} = \frac{(x2+1)2}{(1-x2)2}.
$$
Passo 5
Como estamos dentro da raiz, obtemos
Passo 6
Portanto mostramos que √{1+f′(x)^2} = p(x)/q(x), com p(x)=x^2+1 e q(x)=1–x^2, ambos polinômios de segundo grau.
Resposta
p(x)=x^2+1 e q(x)=1-x^2