Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
A solução de x+raizx-2=4 é S=3.

Passo 1

O objetivo é analisar a afirmativa “A solução de x+raizx-2=4 é S=3”, lembrando que se trata de uma equação com radical de 1º grau e que precisamos verificar domínio e possíveis raízes extranhas.

Passo 2

Primeiro, encontramos o domínio exigido pelo radical. Como aparece raizx-2, precisamos de
x-2 >= 0
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x >= 2
Além disso, ao isolar o radical vamos obter raizx-2=4-x. Como raizx-2>=0, exige-se também
4-x >= 0 Longrightarrow x<=4
Portanto, a solução deve satisfazer
2 <= x <= 4

Passo 3

Agora isolamos o radical na equação original:
x + raizx-2 = 4 Longrightarrow raizx-2 = 4 - x
Elevando ao quadrado dos dois lados, obtemos
(x-2) = (4 - x)^2

Passo 4

Expandindo e rearranjando a equação quadrática:
x - 2 = 16 - 8x + x^2
0 = x^2 - 9x + 18
Resolvendo a equação quadrática com fórmula de Bhaskara:
De
x = 9 pm raiz92 = 9 pm 32,
isto é, as raízes são x=6 e x=3.

Passo 5

Precisamos filtrar essas raízes no intervalo [2,4]:
  • x=6 não satisfaz x<=4, é extranha e deve ser rejeitada.
  • x=3 está em [2,4] e de fato, substituindo em x+raizx-2=4 3+1=4.
    Portanto, a única solução válida é x=3, e a afirmação é verdadeira.

Resposta

S={3}

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