Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O conjunto solução da equação x^2(x^2-4)=x(x-2) é S=-2,0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto solução da equação x^2(x^2-4)=x(x-2) é realmente S=-2,0. O conteúdo aqui é resolução de equações polinomiais por fatoração e uso do Teorema das Raízes Racionais e da fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever toda a equação num só lado do sinal de igualdade:
x^2(x^2-4)-x(x-2)=0
Em seguida, desenvolvemos cada termo:
x^4-4x^2-x^2+2x=0
e agrupamos:
x^4-5x^2+2x=0

Passo 3

Agora, fatoramos x em evidência:
xl(x^3-5x+2r)=0
Daí já vemos uma raiz imediata:
x=0

Passo 4

O outro fator é o polinômio cúbico x^3-5x+2. Pelo Teorema das Raízes Racionais tentamos x=2:
2^3-5cdot2+2=8-10+2=0,
logo x=2 é raiz. Dividindo x^3-5x+2 por (x-2) obtemos:
x^3-5x+2=(x-2)(x^2+2x-1)

Passo 5

As raízes do trinômio x^2+2x-1=0 vêm de Bhaskara:
x=-2pmraiz2^2-4cdot1cdot(-1)2=-2pmraiz82=-1pmraiz2

Passo 6

Portanto o conjunto solução real é
0,,2,,-1+raiz2,,-1-raiz2
Comparando com S=-2,0, vemos que -2 nem satisfaz a equação e faltam os valores 2 e -1pmraiz2.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a solução correta da equação é 0,,2,,-1+raiz2,,-1-raiz2, não -2,0.

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