Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa de 50 % ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por p a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo T(p), em anos, necessário para que essa população alcance o número p<200 pode ser modelado pela função
T(p)=-2 integral200^p x+50x(x+100) d x
Determine constantes A e B tais que x+50x(x+100)=Ax+Bx+100.

Passo 1

O enunciado nos pede para decompor a função racional em frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que essa decomposição facilite a integração. O conteúdo aqui é frações parciais, e vamos usar o método de identidade e comparação de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a forma da decomposição em frações parciais:
x+50x(x+100) = Ax + Bx+100

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x+100) para eliminar os denominadores e obter uma identidade polinomial:
x + 50 = A(x + 100) + Bx

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos semelhantes:
A(x+100) + Bx = (A+B)x + 100A

Passo 5

Agora comparamos os coeficientes do polinômio x+50:
  • Coeficiente de x: A + B = 1
  • Termo constante: 100A = 50

Passo 6

Resolvendo o sistema formado por A+B=1 e 100A=50, encontramos as constantes desejadas.

Resposta

A = \tfrac12 e B = \tfrac12

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