Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa de
ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por
a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo
, em anos, necessário para que essa população alcance o número
pode ser modelado pela função
Determine constantes
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado nos pede para decompor a função racional em frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que essa decomposição facilite a integração. O conteúdo aqui é frações parciais, e vamos usar o método de identidade e comparação de coeficientes.
Passo 2
Escrevemos a forma da decomposição em frações parciais:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores e obter uma identidade polinomial:
Passo 4
Expandimos o lado direito e agrupamos termos semelhantes:
Passo 5
Agora comparamos os coeficientes do polinômio
:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema formado por
e
, encontramos as constantes desejadas.
Resposta
A = \tfrac12 e B = \tfrac12