Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que
para todo
números reais.
Temos que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se para todos os reais distintos
e
vale
; o conteúdo é fatoração algébrica (diferença de cubos) e prova de desigualdade.
Passo 2
Usando a fórmula de diferença de cubos, escrevemos
Logo, para
temos
Passo 3
Agora precisamos mostrar que
para todo
. Uma forma é completar o quadrado:
já que soma de quadrados é sempre não negativa.
Passo 4
Como a única forma de
seria ter
e
simultaneamente, o que implicaria
e
, mas nesse caso
, concluímos que para
a expressão é estritamente positiva. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira.