Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que x^3-y^3x-y >= 0 para todo x neq y números reais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se para todos os reais distintos x e y vale x^3 - y^3x - y >= 0; o conteúdo é fatoração algébrica (diferença de cubos) e prova de desigualdade.

Passo 2

Usando a fórmula de diferença de cubos, escrevemos
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
Logo, para x neq y temos
x^3 - y^3x - y = x^2 + xy + y^2

Passo 3

Agora precisamos mostrar que x^2 + xy + y^2 >= 0 para todo x,y in R. Uma forma é completar o quadrado:
x^2 + xy + y^2 = l(x + tfrac y2r)^2 + tfrac3y^24 >= 0,
já que soma de quadrados é sempre não negativa.

Passo 4

Como a única forma de x^2 + xy + y^2 = 0 seria ter x + tfrac y2 = 0 e y = 0 simultaneamente, o que implicaria x = 0 e y = 0, mas nesse caso x = y, concluímos que para x neq y a expressão é estritamente positiva. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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