Um modelo para o estudo da velocidade de queda
de um pára-quedista é supor que a força de resistência do ar seja dada por
, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Como a força resultante é
, onde
é a força peso, pela Segunda Lei de Newton, temos que
Suponha que a aceleração da gravidade é
, a massa conjunta do pára-quedas e do pára-quedista é
e que
. Da Segunda Lei de Newton segue que
para todo tempo
.
Use a regra da substituição para transformar a integral
em uma outra que não envolve a função
nem a derivada
. Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.
Use a regra da substituição para transformar a integral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um paraquedista cuja velocidade de queda, $ v(t) $, é influenciada pela resistência do ar, que é proporcional ao quadrado da velocidade: $ R = b v(t)^2
P = -m g $) e dessa resistência do ar. Usando a Segunda Lei de Newton, chegamos à equação diferencial:
Nosso objetivo é transformar essa integral usando a regra da substituição para que ela não envolva mais $ v(t) $ nem $ v^{\prime}(t) $, e então resolver usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ v^{\prime}(t) $ é a derivada de $ v(t) $ em relação ao tempo, ou seja, a aceleração. A integral que precisamos resolver é:
Para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir uma nova variável $ u $ igual a $ v(t) $:
Então, a derivada de $ u $ em relação ao tempo $ t $ é:
Isso nos permite reescrever o diferencial $ v^{\prime}(t) , dt $ como $ du $.
Passo 3
Substituindo $ u = v(t) $ e $ du = v^{\prime}(t) , dt $ na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de $ u $ e não envolve mais $ v(t) $ ou $ v^{\prime}(t) $, como queríamos.
Passo 4
Para resolver a integral $ \int \frac{du}{u^{2} - 1} $, vamos usar o método das frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $ que satisfazem essa igualdade.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ (u - 1)(u + 1) $ para eliminar os denominadores, temos:
Agora, escolhemos valores de $ u $ que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos escolher $ u = 1 $:
Em seguida, escolhemos $ u = -1 $:
Passo 6
Agora que temos $ A = \frac{1}{2} $ e $ B = -\frac{1}{2} $, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que $ u = v(t) $, substituímos de volta:
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
Passo 9
Agora, igualamos a solução da integral à constante dada na equação original:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde $ C’ = 2C $ é uma nova constante de integração.
Passo 10
Para resolver para $ v(t) $, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante positiva.
Passo 11
Removendo o valor absoluto (assumindo que $ \frac{v(t) - 1}{v(t) + 1} $ é positivo):
Resolvendo para $ v(t) $:
Resposta
A solução da velocidade de queda é:
Onde $ K $ é uma constante determinada pelas condições iniciais do paraquedista.