Um modelo para o estudo da velocidade de queda v(t) de um pára-quedista é supor que a força de resistência do ar seja dada por R=b v(t)^2, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Como a força resultante é P+R, onde P=-m g é a força peso, pela Segunda Lei de Newton, temos que
m a(t)=-m g+b v(t)^2
Suponha que a aceleração da gravidade é g=10 m / s^2, a massa conjunta do pára-quedas e do pára-quedista é m=70 kg e que b=700 kg / m. Da Segunda Lei de Newton segue que
(*) v^prime(t)v(t)^2-1=10
para todo tempo t >= 0.
Use a regra da substituição para transformar a integral integral v^prime(t) /(v(t)^2-1) d t em uma outra que não envolve a função v(t) nem a derivada v^prime(t). Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um paraquedista cuja velocidade de queda, $ v(t) $, é influenciada pela resistência do ar, que é proporcional ao quadrado da velocidade: $ R = b v(t)^2 v(t) çé P = -m g $) e dessa resistência do ar. Usando a Segunda Lei de Newton, chegamos à equação diferencial:
R = b v(t)^2
Nosso objetivo é transformar essa integral usando a regra da substituição para que ela não envolva mais $ v(t) $ nem $ v^{\prime}(t) $, e então resolver usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ v^{\prime}(t) $ é a derivada de $ v(t) $ em relação ao tempo, ou seja, a aceleração. A integral que precisamos resolver é:
v^prime(t)
Para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir uma nova variável $ u $ igual a $ v(t) $:
v(t)
Então, a derivada de $ u $ em relação ao tempo $ t $ é:
integral v^prime(t)v(t)^2 - 1 , dt
Isso nos permite reescrever o diferencial $ v^{\prime}(t) , dt $ como $ du $.

Passo 3

Substituindo $ u = v(t) $ e $ du = v^{\prime}(t) , dt $ na integral original, temos:
u = v(t)
Agora, a integral está em termos de $ u $ e não envolve mais $ v(t) $ ou $ v^{\prime}(t) $, como queríamos.

Passo 4

Para resolver a integral $ \int \frac{du}{u^{2} - 1} $, vamos usar o método das frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
integral duu^2 - 1
Então, podemos escrever:
u^2 - 1 = (u - 1)(u + 1)
Precisamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $ que satisfazem essa igualdade.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por $ (u - 1)(u + 1) $ para eliminar os denominadores, temos:
(u - 1)(u + 1)
Agora, escolhemos valores de $ u $ que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos escolher $ u = 1 $:
1 = A(u + 1) + B(u - 1)
Em seguida, escolhemos $ u = -1 $:
u

Passo 6

Agora que temos $ A = \frac{1}{2} $ e $ B = -\frac{1}{2} $, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
A = 12
Então, a integral fica:
B = -12

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1/2u - 1 , du - integral 1/2u + 1 , du = 12 ln|u - 1| - 12 ln|u + 1| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que $ u = v(t) $, substituímos de volta:
u = v(t)
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
12 ln|v(t) - 1| - 12 ln|v(t) + 1| + C

Passo 9

Agora, igualamos a solução da integral à constante dada na equação original:
12 ln | v(t) - 1v(t) + 1 | = 10t + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
ln | v(t) - 1v(t) + 1 | = 20t + C'
Onde $ C’ = 2C $ é uma nova constante de integração.

Passo 10

Para resolver para $ v(t) $, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
v(t)
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante positiva.

Passo 11

Removendo o valor absoluto (assumindo que $ \frac{v(t) - 1}{v(t) + 1} $ é positivo):
v(t) - 1v(t) + 1
Resolvendo para $ v(t) $:
v(t) - 1v(t) + 1 = K e^20t
v(t)
v(t) - 1 = K e^20t (v(t) + 1)
v(t) - 1 = K e^20t v(t) + K e^20t
v(t) - K e^20t v(t) = 1 + K e^20t

Resposta

A solução da velocidade de queda é:
v(t) = 1 + K e^20t1 - K e^20t
Onde $ K $ é uma constante determinada pelas condições iniciais do paraquedista.

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