Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa de 50 % ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por p a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo T(p), em anos, necessário para que essa população alcance o número p<200 pode ser modelado pela função
T(p)=-2 integral200^p x+50x(x+100) d x
Usando o item anterior, obtenha uma expressão explícita para T(p) em termos da função logarítmica.

Passo 1

A questão pede para expressar explicitamente em função de logaritmos a integral
T(p)=-2integral200^px+50x(x+100),dx
Esse é um problema de cálculo de integrais por frações parciais seguido da aplicação do teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Observamos que
x+50x(x+100)=Ax+Bx+100
Multiplicando ambos os lados por x(x+100) e comparando coeficientes obtemos
A+ B=1, 100A=50 \
Logo A=tfrac12 e B=tfrac12, ou seja
x+50x(x+100)=12l(1x+1x+100r)

Passo 3

Agora substituímos na integral e simplificamos o fator -2):
T(p)=-2integral200^p12l(1x+1x+100r)dx =-integral200^pl(1x+1x+100r)dx
Sabendo que integral1/x,dx=ln|x| e integral1/(x+100),dx=ln|x+100|, temos a primitiva
F(x)=ln(x)+ln(x+100)

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo com os limites de 200 até p:
T(p)=-l[F(p)-F(200)r] =-l[l(ln(p)+ln(p+100)r)-(ln(200)+ln(300))r]

Passo 5

Por fim, juntamos os logaritmos e simplificamos:
T(p)=-lnl(p(p+100)r)+ln(200cdot300) =ln200cdot300p(p+100) =ln60000p(p+100)

Resposta

T(p)=ln60000p(p+100)

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