Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa de
ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por
a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo
, em anos, necessário para que essa população alcance o número
pode ser modelado pela função
Usando o item anterior, obtenha uma expressão explícita para
em termos da função logarítmica.
Passo 1
A questão pede para expressar explicitamente em função de logaritmos a integral
Esse é um problema de cálculo de integrais por frações parciais seguido da aplicação do teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Observamos que
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes obtemos
Logo
e
, ou seja
Passo 3
Agora substituímos na integral e simplificamos o fator
:
Sabendo que
e
, temos a primitiva
Passo 4
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo com os limites de 200 até p:
Passo 5
Por fim, juntamos os logaritmos e simplificamos: