Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Toda função que é sobrejetora é injetora.
Toda função que é sobrejetora é injetora.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se “toda função sobrejetora é injetora”. O conteúdo envolvido é teoria de funções, mais especificamente as definições de injeção e sobrejeção.
Passo 2
Vamos relembrar as definições: uma função
é sobrejetora se, para todo
, existe ao menos um
tal que
. Já
é injetora se, sempre que
, então
.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta apresentar uma função que seja sobrejetora mas não injetora. Considere o conjunto de partida
e o contradomínio
. Definimos
por
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetora, pois o único elemento de
é
e existe pelo menos um elemento em
(na verdade dois) que mapeia em
. Porém
com
, logo
não é injetora.
Resposta
Falsa.