Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Toda função que é sobrejetora é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “toda função sobrejetora é injetora”. O conteúdo envolvido é teoria de funções, mais especificamente as definições de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Vamos relembrar as definições: uma função fcolon A to B é sobrejetora se, para todo bin B, existe ao menos um ain A tal que f(a)=b. Já f é injetora se, sempre que f(a1)=f(a2), então a1=a2.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta apresentar uma função que seja sobrejetora mas não injetora. Considere o conjunto de partida A=1,2 e o contradomínio B=a. Definimos fcolon Ato B por
f(1)=a, f(2)=a

Passo 4

Mostramos que f é sobrejetora, pois o único elemento de B é a e existe pelo menos um elemento em A (na verdade dois) que mapeia em a. Porém f(1)=f(2) com 1neq2, logo f não é injetora.

Resposta

Falsa.

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