Seja
(a transformada de Laplace da função
) onde . . Mostre que
(Não precisa calcular essa derivada. Note que
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. O problema nos dá uma função $ h(t) = t^{5} g(t) $ onde $ g(t) $ é definida de forma diferente para $ t < \pi $ e $ t \geq \pi $. Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace dessa função e mostrar que ela é igual a $ \frac{d{5}}{s{5}} \left( \frac{s e^{-\pi s}}{s^{2}+1} \right) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ g(t) $. Ela é definida assim:
Isso significa que $ g(t) $ é igual a zero até o tempo $ t = \pi $ e depois passa a ser $ \cos t $. Isso é uma função que “liga” a partir de $ t = \pi $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, queremos a transformada de $ h(t) = t^{5} g(t) $.
Passo 4
Como $ g(t) $ é zero até $ t = \pi $, a integral da Transformada de Laplace vai começar a partir de $ t = \pi $:
Passo 5
Agora, vamos utilizar uma propriedade da Transformada de Laplace que envolve funções multiplicadas por potências de $ t $. A propriedade diz que:
No nosso caso, $ n = 5 $ e $ f(t) = g(t) $. Então:
Passo 6
Vamos encontrar $ \mathcal{L}{g(t)} $. Como $ g(t) = \cos t $ para $ t \geq \pi $, podemos escrever isso usando a função de Heaviside $ u(t - \pi) $:
A Transformada de Laplace de $ \cos t \cdot u(t - \pi) $ é:
Essa é uma aplicação da propriedade de atraso na Transformada de Laplace.
Passo 7
Substituindo $ \mathcal{L}{g(t)} $ na expressão de $ F(s) $:
Mas como o $ (-1)^{5} = -1 $ já está incluído, podemos reescrever sem o sinal negativo:
Resposta
Portanto, mostramos que: