Resolva o PVI
onde
Este problema modela oscilações não amortecidas de um sistema mola-massa, pêndulo simples, ou circuito LC, dependendo da interpretação de
e
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem que descreve oscilações não amortecidas, como em um sistema mola-massa ou um circuito LC. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = y_0 $ e $ y’(0) = y_1 $. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
A função $ \operatorname{Ar}(t) $ é uma função periódica definida por:
Como $ r(t) $ é uma função periódica, podemos usar o método da superposição para encontrar a solução particular. Assumimos uma solução particular na forma:
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituímos $ y_p(t) $ na equação diferencial:
Como $ y_p(t) = A \cdot r(t) $, e derivando duas vezes, obtemos:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ t $, escolhemos $ A $ de forma que:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para determinar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, $ \sin(0) = 0 $ e $ r(0) $ depende do intervalo, mas supondo $ k = 0 $, $ r(0) = 1 $:
Passo 7
Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a condição inicial em $ y’(0) $:
Para $ t = 0 $:
Sabendo que $ \sin(0) = 0 $, $ \cos(0) = 1 $ e $ r’(0) = 0 $ (já que $ r(t) $ é constante imediatamente após $ t = 0 $):
Resposta
A solução geral do problema é: