Resolva o PVI
y^prime prime+omega^2 y=Ar(t), y(0)=y0, y^prime(0)=y1
onde
Este problema modela oscilações não amortecidas de um sistema mola-massa, pêndulo simples, ou circuito LC, dependendo da interpretação de r(t)=ll 1, & 2 k e t, omega, A, r(t), y0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem que descreve oscilações não amortecidas, como em um sistema mola-massa ou um circuito LC. A equação que temos é:
y'' + omega^2 y = Ar(t)
com as condições iniciais $ y(0) = y_0 $ e $ y’(0) = y_1 $. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + omega^2 y = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
yh(t) = C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t)
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' + omega^2 y = Ar(t)
A função $ \operatorname{Ar}(t) $ é uma função periódica definida por:
Ar(t)
Como $ r(t) $ é uma função periódica, podemos usar o método da superposição para encontrar a solução particular. Assumimos uma solução particular na forma:
r(t) = 1, & 2k < t < 2k+1, 0, & 2k+1 < t < 2k+2, k in N
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituímos $ y_p(t) $ na equação diferencial:
yp(t)
Como $ y_p(t) = A \cdot r(t) $, e derivando duas vezes, obtemos:
yp'' + omega^2 yp = Ar(t)
Substituindo de volta na equação:
yp(t) = A cdot r(t)
Simplificando:
yp''(t) = A cdot r''(t)
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ t $, escolhemos $ A $ de forma que:
A cdot r''(t) + omega^2 A cdot r(t) = Ar(t)

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) + 1omega^2 r(t)

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para determinar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, $ \sin(0) = 0 $ e $ r(0) $ depende do intervalo, mas supondo $ k = 0 $, $ r(0) = 1 $:
C2

Passo 7

Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a condição inicial em $ y’(0) $:
y(t)
Para $ t = 0 $:
y'(0)
Sabendo que $ \sin(0) = 0 $, $ \cos(0) = 1 $ e $ r’(0) = 0 $ (já que $ r(t) $ é constante imediatamente após $ t = 0 $):
y'(t) = -C1 omega sin(omega t) + C2 omega cos(omega t) + 1omega^2 r'(t)

Resposta

A solução geral do problema é:
y(t) = (y0 - 1omega^2) cos(omega t) + y1omega sin(omega t) + 1omega^2 r(t)

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