Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função
é igual ao domínio da função
.
O domínio da função
Passo 1
O enunciado pede para comparar os domínios de
f(x)=\sqrt{\frac{x{2}+x-2}{3x-x{2}}} e
g(x)=\frac{\sqrt{x{2}+x-2}}{\sqrt{3x-x{2}}}.
Vamos usar teoria de desigualdades e análise de sinais para achar cada domínio.
f(x)=\sqrt{\frac{x{2}+x-2}{3x-x{2}}} e
g(x)=\frac{\sqrt{x{2}+x-2}}{\sqrt{3x-x{2}}}.
Vamos usar teoria de desigualdades e análise de sinais para achar cada domínio.
Passo 2
Para g(x) precisamos de dois requisitos:
- O radicando do numerador deve existir:
. - O radicando do denominador deve ser estritamente positivo (pois não pode zerar no denominador):
.
Resolvendoobtém-se
ou .
Resolvendoobtém-se
.
A interseção é
.
Logo dom(g)=[1,3).
Passo 3
Para f(x) precisamos que a fração interna ao
seja não negativa e o denominador não seja zero, ou seja:
-
. -
.
Fazendo análise de sinais das quatro raízes críticas, obtemos que a razão é não negativa em
(e excluímose porque anulam o denominador, mas mantemos e pois aí o numerador também zera e a fração fica zero).
Passo 4
Comparando domínios:
• dom(f)=[-2,0)\cup[1,3)
• dom(g)=[1,3)
Como dom que não está em dom(g), os domínios são diferentes.
• dom(f)=[-2,0)\cup[1,3)
• dom(g)=[1,3)
Como dom que não está em dom(g), os domínios são diferentes.
Resposta
A afirmação é falsa, pois dom(f)=[-2,0)\cup[1,3) e dom(g)=[1,3), logo não coincidem.