Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função f(x)=raizx^2+x-23 x-x^2 é igual ao domínio da função g(x)=raizx^2+x-2raiz3 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para comparar os domínios de
f(x)=\sqrt{\frac{x{2}+x-2}{3x-x{2}}} e
g(x)=\frac{\sqrt{x{2}+x-2}}{\sqrt{3x-x{2}}}.
Vamos usar teoria de desigualdades e análise de sinais para achar cada domínio.

Passo 2

Para g(x) precisamos de dois requisitos:
  1. O radicando do numerador deve existir:
    x^2+x-2>=0.
  2. O radicando do denominador deve ser estritamente positivo (pois não pode zerar no denominador):
    3x-x^2>0.
    Resolvendo x^2+x-2=(x+2)(x-1)>=0 obtém-se
    x<=-2 ou x>=1.
    Resolvendo 3x-x^2=x(3-x)>0 obtém-se
    0.
    A interseção é
    xin[1,3).
    Logo dom(g)=[1,3).

Passo 3

Para f(x) precisamos que a fração interna ao raizcdot seja não negativa e o denominador não seja zero, ou seja:
  1. 3x-x^2neq0.
  2. x^2+x-23x-x^2>=0.
    Fazendo análise de sinais das quatro raízes críticas -2,0,1,3, obtemos que a razão é não negativa em
    [-2,0)cup[1,3)
    (e excluímos x=0 e x=3 porque anulam o denominador, mas mantemos x=-2 e x=1 pois aí o numerador também zera e a fração fica zero).

Passo 4

Comparando domínios:
• dom(f)=[-2,0)\cup[1,3)
• dom(g)=[1,3)
Como dom que não está em dom(g), os domínios são diferentes.

Resposta

A afirmação é falsa, pois dom(f)=[-2,0)\cup[1,3) e dom(g)=[1,3), logo não coincidem.

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