Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
A função f(x)=ln (x) é bijetora.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado pede: decidir se a função f(x)=ln(x) é bijetora. O conteúdo envolvido é a definição e os testes de injetividade e sobrejetividade de uma função. Para isso, vamos precisar conhecer as definições formais de injeção e sobrejeção, bem como usar a monotonicidade de ln(x) e sua inversa e^x.

Passo 2

Como o enunciado não especifica domínio e contradomínio, adotamos o contexto padrão: o domínio de f é (0,infty) e o contradomínio é R. Ou seja, estamos analisando f:,(0,infty)toR, f(x)=ln(x).

Passo 3

Para provar que f é injetora, usamos a monotonicidade: a derivada de ln(x) é
ddxln(x)=1x>0para todo x>0
Como f' é sempre positiva, f é estritamente crescente em (0,infty). Funções estritamente crescentes são injetoras, pois se ln(a)=ln(b) então necessariamente a=b.

Passo 4

Para provar que f é sobrejetora, pegamos um valor arbitrário yinR. Precisamos mostrar que existe x>0 tal que ln(x)=y. Basta escolher x=e^y, pois e^y>0 e
ln(e^y)=y
Isso garante que todo y em R tem um correspondente x em (0,infty) com f(x)=y.

Passo 5

Como mostramos que f é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que f(x)=ln(x), no contexto (0,infty)toR, é de fato bijetora.

Resposta

Verdadeira

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