Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
A função
é bijetora.
A função
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado pede: decidir se a função
é bijetora. O conteúdo envolvido é a definição e os testes de injetividade e sobrejetividade de uma função. Para isso, vamos precisar conhecer as definições formais de injeção e sobrejeção, bem como usar a monotonicidade de
e sua inversa
.
Passo 2
Como o enunciado não especifica domínio e contradomínio, adotamos o contexto padrão: o domínio de
é
e o contradomínio é
. Ou seja, estamos analisando
,
.
Passo 3
Para provar que
é injetora, usamos a monotonicidade: a derivada de
é
Como
é sempre positiva,
é estritamente crescente em
. Funções estritamente crescentes são injetoras, pois se
então necessariamente
.
Passo 4
Para provar que
é sobrejetora, pegamos um valor arbitrário
. Precisamos mostrar que existe
tal que
. Basta escolher
, pois
e
Isso garante que todo
em
tem um correspondente
em
com
.
Passo 5
Como mostramos que
é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que
, no contexto
, é de fato bijetora.
Resposta
Verdadeira