Diga se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas e/ou bijetivas:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ definida por $ f(x) = x^{2} $ é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Para isso, precisamos entender os conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que dois elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se $ f(a) = f(b) $ implica que $ a = b $.
Vamos testar isso para a nossa função $ f(x) = x^{2} $. Suponha que $ f(a) = f(b) $, ou seja, $ a^{2} = b^{2} $. Isso implica que $ a = b $ ou $ a = -b $. Como podemos ver, mesmo que $ a $ e $ b $ sejam diferentes (por exemplo, 2 e -2), eles mapeiam para o mesmo valor $ f(a) = f(b) $. Portanto, a função não é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo $ y $ em $ \mathbb{R}_{+} $, existe pelo menos um $ x $ em $ \mathbb{R} $ tal que $ f(x) = y $.
Na nossa função $ f(x) = x^{2} $, para qualquer $ y $ em $ \mathbb{R}_{+} $, podemos encontrar um $ x $ que satisfaça $ x^{2} = y $. Basta escolher $ x = \sqrt{y} $ ou $ x = -\sqrt{y} $. Assim, todo número real positivo tem pelo menos um antecedente na função. Portanto, a função é sobrejetiva.
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} $ não é injetiva, mas é sobrejetiva. Como não é injetiva, ela não é bijetiva.