Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função ln (ln x) é igual a (0,+infty).

Passo 1

A questão pede para determinar se a afirmação “O domínio de ln(ln x) é (0,+infty)” é verdadeira ou falsa, e justificar. O conteúdo envolve funções compostas e domínio de logaritmos.

Passo 2

Para a composição ln(ln x) estar bem definida deve-se ter primeiro ln x definido, ou seja x>0. Isso garante que o argumento interno é positivo.

Passo 3

Além disso, para aplicar o logaritmo externo ln(cdot), o argumento ln x precisa ser estritamente positivo: ln x>0. Resolvendo essa desigualdade temos x>1.

Passo 4

Concluímos que o domínio de ln(ln x) é (1,+infty), não (0,+infty). Logo a afirmação original é falsa.

Resposta

Falsa. O domínio correto de ln(ln x) é (1,+infty).

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