Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função ln (x^4+4x^2) é igual a R^*.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de variável real definida por f(x)=lnl(tfracx^4+4x^2r) e comparar com R^*. O conteúdo é domínio de funções envolvendo logaritmo, e vamos precisar usar a condição de que o argumento do ln deve ser positivo.

Passo 2

Para que f(x) exista, é preciso que o argumento do logaritmo seja estritamente maior que zero, isto é, devemos resolver a desigualdade
x^4+4x^2>0
Observamos que o numerador x^4+4 é sempre positivo, pois
$$
x4+4=(x2)^2+4\ge4>0\quadpara todox\in\mathbb{R}.$$
O denominador x^4+4=(x^2)^2+4>=4>0para todo xinR também é positivo para todo x^2.

Passo 3

Como numerador e denominador são positivos sempre que xneq0, a fração é positiva para todo xneq0. Portanto a condição tfracx^4+4x^2>0 equivale a xneq0.

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é
xinR:xneq0=R^*

Resposta

Verdadeiro. O domínio de lnl(tfracx^4+4x^2r) é R^*.

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