Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função
é igual a
.
O domínio da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função de variável real definida por
e comparar com
. O conteúdo é domínio de funções envolvendo logaritmo, e vamos precisar usar a condição de que o argumento do
deve ser positivo.
Passo 2
Para que
exista, é preciso que o argumento do logaritmo seja estritamente maior que zero, isto é, devemos resolver a desigualdade
Observamos que o numerador
$$
x4+4=(x2)^2+4\ge4>0\quadpara todox\in\mathbb{R}.$$
O denominador também é positivo para todo
.
O denominador
Passo 3
Como numerador e denominador são positivos sempre que
, a fração é positiva para todo
. Portanto a condição
equivale a
.
Passo 4
Concluímos que o domínio de
é
Resposta
Verdadeiro. O domínio de
é
.