Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
A função cotg(x) é uma função injetora em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função cotangente cot(x), com domínio Rsetminuskpi:kinZ, é injetora. O conteúdo é teoria de funções injetoras e periodicidade de funções trigonométricas.

Passo 2

Uma função fcolon Xto Y é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2. Vamos usar essa definição para testar cot(x).

Passo 3

Sabemos que a função cotangente é periódica de período pi. De fato,
[\cot(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot(x).]

Passo 4

Como a função satisfaz cot(x+pi)=cot(x) para todo x em seu domínio, temos sempre dois pontos distintos — por exemplo x e x+pi — que são mapeados no mesmo valor.
Tomemos o exemplo x=pi/6. Então x+pi=7pi/6 também está no domínio e
[\cot(\pi/6)=\sqrt3,\quad\cot(7\pi/6)=\sqrt3.]

Passo 5

Como pi/6neq7pi/6 mas cot(pi/6)=cot(7pi/6), isso viola a injetividade. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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