Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
A função
é uma função injetora em todo o seu domínio.
A função
Passo 1
O enunciado pergunta se a função cotangente
, com domínio
, é injetora. O conteúdo é teoria de funções injetoras e periodicidade de funções trigonométricas.
Passo 2
Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Vamos usar essa definição para testar
.
Passo 3
Sabemos que a função cotangente é periódica de período
. De fato,
[\cot(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot(x).]
[\cot(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot(x).]
Passo 4
Como a função satisfaz
para todo
em seu domínio, temos sempre dois pontos distintos — por exemplo
e
— que são mapeados no mesmo valor.
Tomemos o exemplo . Então
também está no domínio e
[\cot(\pi/6)=\sqrt3,\quad\cot(7\pi/6)=\sqrt3.]
Tomemos o exemplo
[\cot(\pi/6)=\sqrt3,\quad\cot(7\pi/6)=\sqrt3.]
Passo 5
Como
mas
, isso viola a injetividade. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.