Uma função f de x e y é harmônica se satisfazem à equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.3) f(x, y)=arctg(yx), x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função f(x,y)=arctan(y/x), definida para x>0, satisfaz a equação de Laplace fxx+fyy=0. O conteúdo é funções harmônicas e vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de primeira ordem. Usando a regra da cadeia e lembrando que dduarctan(u)=1/(1+u^2), temos:
partial fpartial x=11+(y/x)^2cdotpartialpartial xl(tfracyxr)=11+y^2/x^2cdotl(-y/x^2r)=-yx^2+y^2
partial fpartial y=11+(y/x)^2cdotpartialpartial yl(tfracyxr)=11+y^2/x^2cdot1x=xx^2+y^2

Passo 3

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Tratando y como constante ao derivar em relação a x e vice-versa, obtemos:
partial^2 fpartial x^2=partialpartial xl(-yx^2+y^2r)=-ycdot-2x(x^2+y^2)^2=2xy(x^2+y^2)^2
partial^2 fpartial y^2=partialpartial yl(xx^2+y^2r)=xcdot-2y(x^2+y^2)^2=-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Por fim, somamos as duas derivadas de segunda ordem:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=2xy(x^2+y^2)^2-2xy(x^2+y^2)^2=0
Como essa soma é zero, a função f(x,y) satisfaz a equação de Laplace e portanto é harmônica.

Resposta

A função f(x,y)=arctan(y/x) satisfaz fxx+fyy=0 para x>0, logo é harmônica.

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