Uma função
de
e
é harmônica se satisfazem à equação de Laplace
.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.3)
.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.3)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
, definida para
, satisfaz a equação de Laplace
. O conteúdo é funções harmônicas e vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de primeira ordem. Usando a regra da cadeia e lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Tratando
como constante ao derivar em relação a
e vice-versa, obtemos:
Passo 4
Por fim, somamos as duas derivadas de segunda ordem:
Como essa soma é zero, a função
satisfaz a equação de Laplace e portanto é harmônica.
Resposta
A função
satisfaz
para
, logo é harmônica.