Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (2,1) (x+y-3)^2(x-2)(y-1)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (2,1) (x+y-3)^2(x-2)(y-1) se aproxima de . A função é:
Vamos precisar usar conceitos de limite em várias variáveis e verificar se esse limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum comportamento interessante. Olhando para o numerador (x + y - 3)^2 = (x + y - 3)(x + y - 3) , podemos expandir:
(x + y - 3) = 2 + 1 - 3 = 0
Mas, antes de complicar, vamos tentar substituir diretamente (x - 2)(y - 1) = (2 - 2)(1 - 1) = 0 times 0 = 0 e :
Então, o numerador vira . No denominador:
Portanto, estamos com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar mais a fundo.

Passo 3

Para ver se o limite existe, uma estratégia comum é verificar se o valor do limite é o mesmo ao se aproximar do ponto (x + 1 - 3)^2(x - 2)(1 - 1) = (x - 2)^2(x - 2) times 0 por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que dão valores diferentes, concluímos que o limite não existe.
Vamos tentar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: (x + (3 - x) - 3)^2(x - 2)(3 - x - 1) = (0)^2(x - 2)(2 - x) = 0
Substituindo na função:
Isso nos dá uma divisão por zero, indicando que ao se aproximar por esse caminho, a função não está definida.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Aqui, o limite é 0.

Passo 4

Como vimos, ao se aproximar pelo caminho , a função não está definida (resulta em divisão por zero), enquanto pelo caminho o limite é 0. Como obtivemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque o valor depende do caminho pelo qual se aproxima de .

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