Determine se os limites abaixo existem, justificando:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função é:
Vamos precisar usar conceitos de limite em várias variáveis e verificar se esse limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum comportamento interessante. Olhando para o numerador
, podemos expandir:
Mas, antes de complicar, vamos tentar substituir diretamente
e
:
Então, o numerador vira
. No denominador:
Portanto, estamos com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar mais a fundo.
Passo 3
Para ver se o limite existe, uma estratégia comum é verificar se o valor do limite é o mesmo ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que dão valores diferentes, concluímos que o limite não existe.
Vamos tentar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Isso nos dá uma divisão por zero, indicando que ao se aproximar por esse caminho, a função não está definida.
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Aqui, o limite é 0.
Passo 4
Como vimos, ao se aproximar pelo caminho
, a função não está definida (resulta em divisão por zero), enquanto pelo caminho
o limite é 0. Como obtivemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque o valor depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.