Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se vec{u}=vec{v}, então \|vec{u}\|=\|vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá a afirmação:
  • Se \vec{u}=\vec{v}, então \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
O que é pedido:
  • Decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações dadas:
  • Há igualdade entre dois vetores, \vec{u} e \vec{v}.
  • Quer-se saber se disso segue igualdade entre suas normas.

Passo 2

Vamos lembrar com precisão o que significa dizer que dois vetores são iguais.
Dizemos \vec{u}=\vec{v} quando todos os componentes de \vec{u} são iguais aos componentes correspondentes de \vec{v}.
Se em coordenadas \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), então
\vec{u}=\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_i=v_i\\ \text{para todo } i=1,\dots,n.
Isto significa que os vetores têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento (mas ainda vamos mostrar formalmente o comprimento ser igual).

Passo 3

Definição de norma (comprimento) de um vetor em coordenadas cartesianas:
Para \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n),
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+\cdots+u_n^{2}}.
Outra forma muito útil é usar o produto interno (produto escalar):
\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.
Na prática as duas formas são equivalentes — a segunda é apenas uma notação compacta.

Passo 4

Prova direta usando componentes (passo a passo):
  1. Parto da hipótese \vec{u}=\vec{v}. Então, como vimos, u_i=v_i para todo i.
  2. Calculo o quadrado da norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|^{2}=u_1^{2}+u_2^{2}+\cdots+u_n^{2}.
  1. Como u_i=v_i para cada i, substituindo nas somas obtemos
\|\vec{u}\|^{2}=v_1^{2}+v_2^{2}+\cdots+v_n^{2}=\|\vec{v}\|^{2}.
  1. Como a norma é sempre não negativa (raiz quadrada de soma de quadrados), podemos tirar raiz dos dois lados e concluir
\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
Portanto, a igualdade dos vetores implica a igualdade de suas normas.

Passo 5

Prova alternativa, muito curta, usando produto escalar:
  1. Se \vec{u}=\vec{v} então claramente \vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}.
  2. Mas \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} e \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}, logo
\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\|\vec{v}\|.
Mesma conclusão, prova mais compacta.

Passo 6

Um exemplo numérico simples só para firmar a intuição:
Se \vec{u}=(2, -1) e \vec{v}=(2, -1), então
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
e o mesmo vale para \|\vec{v}\|. Como \vec{u}=\vec{v}, as normas coincidem.

Passo 7

Observação útil para a prova: a recíproca NÃO é verdadeira. Ter \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\| não implica \vec{u}=\vec{v}.
Contraexemplo rápido: \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(-1,0) têm \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1 mas \vec{u}\neq\vec{v}.
Isso é importante para não confundir as direções: igual comprimento não garante mesma direção ou sentido.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados