Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
, então
).
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação:
- Se
, então .
O que é pedido:
- Decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações dadas:
- Há igualdade entre dois vetores,
e . - Quer-se saber se disso segue igualdade entre suas normas.
Passo 2
Vamos lembrar com precisão o que significa dizer que dois vetores são iguais.
Dizemos quando todos os componentes de
são iguais aos componentes correspondentes de
.
Se em coordenadas e
, então
Dizemos
Se em coordenadas
Isto significa que os vetores têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento (mas ainda vamos mostrar formalmente o comprimento ser igual).
Passo 3
Definição de norma (comprimento) de um vetor em coordenadas cartesianas:
Para ,
Para
Outra forma muito útil é usar o produto interno (produto escalar):
Na prática as duas formas são equivalentes — a segunda é apenas uma notação compacta.
Passo 4
Prova direta usando componentes (passo a passo):
- Parto da hipótese
. Então, como vimos, para todo . - Calculo o quadrado da norma de
:
- Como
para cada , substituindo nas somas obtemos
- Como a norma é sempre não negativa (raiz quadrada de soma de quadrados), podemos tirar raiz dos dois lados e concluir
Portanto, a igualdade dos vetores implica a igualdade de suas normas.
Passo 5
Prova alternativa, muito curta, usando produto escalar:
- Se
então claramente . - Mas
e , logo
Mesma conclusão, prova mais compacta.
Passo 6
Um exemplo numérico simples só para firmar a intuição:
Se e
, então
Se
e o mesmo vale para
. Como
, as normas coincidem.
Passo 7
Observação útil para a prova: a recíproca NÃO é verdadeira. Ter
não implica
.
Contraexemplo rápido: e
têm
mas
.
Isso é importante para não confundir as direções: igual comprimento não garante mesma direção ou sentido.
Contraexemplo rápido:
Isso é importante para não confundir as direções: igual comprimento não garante mesma direção ou sentido.
Resposta
Verdadeiro.