Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se \|vec{u}\|=\|vec{v}), então vec{u}=vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
A afirmação é: “Se \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|, então \vec{u}=\vec{v}.”
Informações dadas:
  • Existem dois vetores quaisquer \vec{u} e \vec{v}.
  • Sabe-se apenas que suas normas (comprimentos) são iguais: \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
  • A tarefa é dizer se dessa igualdade de normas segue necessariamente que os vetores sejam iguais e justificar.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar definições e propriedades que vamos usar. Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
Definição de norma (comprimento) de um vetor:
  • Para um vetor \vec{u} em \mathbb{R}^n, a norma é
\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}},
onde \vec{u}\cdot\vec{u} é o produto interno (produto escalar) de \vec{u} por si mesmo.
Definição de igualdade entre vetores:
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais, \vec{u}=\vec{v}, exatamente quando todas as componentes são iguais, ou equivalentemente quando
\vec{u}-\vec{v} = \vec{0}.
Isto é, se e somente se \|\vec{u}-\vec{v}\|=0.
Produto escalar e relação com o ângulo:
  • O produto escalar satisfaz
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Essa fórmula diz que o produto escalar codifica informação sobre a direção relativa dos vetores.
Fórmula útil (expansão do quadrado da diferença):
  • Para qualquer \vec{u},\vec{v},
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}.
Essa identidade vai nos ajudar a ver quando \vec{u}=\vec{v}.

Passo 3

Agora um contraexemplo simples que já responde à pergunta: se eu encontrar vetores com mesma norma mas diferentes, a afirmação é falsa.
Escolha
\vec{u}=(1,0),\qquad \vec{v}=(0,1).
Calcule as normas:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1,\qquad \|\vec{v}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1.
Logo \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|, mas claramente \vec{u}\neq\vec{v} porque (1,0) é diferente de (0,1). Portanto a igualdade das normas não implica igualdade dos vetores. Concluímos que a afirmação é falsa.
(Observação intuitiva: muitos vetores diferentes podem ter o mesmo comprimento — eles estão todos sobre a mesma esfera de raio \|\vec{u}\|.)

Passo 4

Para entender melhor quando \vec{u}=\vec{v} realmente acontece, usemos a identidade do Passo 2. Suponha que \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|. Então
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=2\|\vec{u}\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}=2\|\vec{u}\|^{2}\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Para termos \vec{u}=\vec{v} precisamos de \|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=0, isto é, de 1-\cos\theta=0, ou \cos\theta=1. Isso significa \theta=0: os vetores têm mesma direção e mesmo sentido. Assim, além de terem a mesma norma, é necessário que tenham a mesma direção (ângulo zero) para serem iguais. Em outras palavras, igualdade de normas sozinha é insuficiente; precisa vir acompanhada de igualdade de direção (ou componentes).
Um caso que ilustra isso é \vec{v}=-\vec{u}: então \|\vec{v}\|=\|\vec{u}\| mas \vec{v}\neq\vec{u} (são de sentidos opostos).

Passo 5

Resumo final e moral para a prova: sempre que vir uma afirmação do tipo “se os comprimentos são iguais então os vetores são iguais”, seja cético: dê um contraexemplo com vetores ortogonais ou com sentido oposto. Para provar que dois vetores são iguais você precisa mostrar que todas as componentes coincidem, ou equivalentemente que sua diferença tem norma zero.

Resposta

Falsa.

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