Determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações. ,
Dado um PVI do tipo ,
onde e são funções contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto (ou seja, ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso,
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede o maior intervalo em que existe e é única a solução, usando o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem. Segundo esse teorema, na forma padrão
basta que , e sejam contínuas num intervalo aberto contendo o ponto inicial para garantirmos solução única nesse intervalo.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por . Obtemos
ou seja, g(x)=0,
p(x)=xx-3, q(x)=ln|x|x-3
Passo 3
Para aplicar o teorema, p e q devem ser contínuas. Elas falham em dois pontos:
x=3, pois aparece divisão por zero em tfracxx-3 e tfracln|x|x-3.
x=0, pois ln|x| não está definido em x=0.
Logo, as regiões de continuidade são os intervalos
(-infty,0),(0,3),(3,infty)
Passo 4
O ponto inicial é x0=2, que pertence ao intervalo (0,3). Esse é o maior intervalo aberto, contendo 2, onde p e q são contínuas. Portanto, pelo teorema de existência e unicidade, nossa solução existe e é única em (0,3).