Determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
(x-3) y^prime prime+x y^prime+(ln |x|) y=0, y(2)=3, y^prime(2)=1
Dado um PVI do tipo
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g(t), y(t0)=y0, y^prime(t0)=y0^prime,
onde p(t), q(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto I subset R contendo o ponto t0 (ou seja, t0 in I ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y=phi(t) para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso,

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(x-3),y'' + x,y' + (ln|x|),y = 0, y(2)=3,;y'(2)=1
e pede o maior intervalo em que existe e é única a solução, usando o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem. Segundo esse teorema, na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = g(x),
basta que p, q e g sejam contínuas num intervalo aberto contendo o ponto inicial para garantirmos solução única nesse intervalo.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por (x-3). Obtemos
y'' + underbracexx-3p(x),y' + underbraceln|x|,x-3,q(x),y = 0,
ou seja, g(x)=0,
p(x)=xx-3, q(x)=ln|x|x-3

Passo 3

Para aplicar o teorema, p e q devem ser contínuas. Elas falham em dois pontos:
  1. x=3, pois aparece divisão por zero em tfracxx-3 e tfracln|x|x-3.
  2. x=0, pois ln|x| não está definido em x=0.
    Logo, as regiões de continuidade são os intervalos
(-infty,0),(0,3),(3,infty)

Passo 4

O ponto inicial é x0=2, que pertence ao intervalo (0,3). Esse é o maior intervalo aberto, contendo 2, onde p e q são contínuas. Portanto, pelo teorema de existência e unicidade, nossa solução existe e é única em (0,3).

Resposta

(0,3)

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