RESOLVAA INTEGRAL
2-integral0^x(2-2 t) e^(x+t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
2 - integral0^x (2 - 2t) e^(x + t) , dt
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais definidas que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar expressões que têm produtos de polinômios e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da integral. Observe que e^(x + t) pode ser reescrito usando propriedades dos expoentes:
e^(x + t) = e^x cdot e^t
Então, a integral fica:
integral0^x (2 - 2t) e^x e^t , dt

Passo 3

Agora, percebemos que e^x é uma constante em relação à variável t (porque x é o limite superior da integral). Podemos, então, fatorar e^x para fora da integral:
e^x integral0^x (2 - 2t) e^t , dt

Passo 4

Vamos focar na integral restante:
integral (2 - 2t) e^t , dt
Podemos separar essa integral em duas partes:
2 integral e^t , dt - 2 integral t e^t , dt

Passo 5

A primeira integral é simples:
2 integral e^t , dt = 2 e^t + C
Já a segunda integral, integral t e^t , dt , requer o uso da Integração por Partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = t Rightarrow du = dt
  • dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
Aplicando a fórmula:
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
2 e^t - 2 (t e^t - e^t) = 2 e^t - 2 t e^t + 2 e^t = (4 - 2t) e^t
Então, a integral definida de 0 a x é:
[ (4 - 2t) e^t ]0^x = (4 - 2x) e^x - (4 - 0) e^0 = (4 - 2x) e^x - 4

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:
2 - [ (4 - 2x) e^x - 4 ] = 2 - (4 - 2x) e^x + 4 = 6 - (4 - 2x) e^x

Resposta

A solução da integral é:
6 - (4 - 2x) e^x

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